共點力作用下物體平衡問題的求解方法

共點力作用下物體平衡問題的求解，實質上就是平衡條件的應用，就具體問題而言，可分為以下三種類型．

類型一同一條直線上幾個力的平衡

對于同一條直線上幾個力的平衡，可直接應用“等大而反向”建立方程求解．

例1．（2008#8226;江蘇）一質量為M的探空氣球在勻速下降，若氣球所受浮力F始終保持不變，氣球在運動過程中所受阻力僅與速率有關，重力加速度為g.現欲使該氣球以同樣速率勻速上升，則需從氣球吊籃中減少的質量為()

A. 2（M-） B. （M-）C. 2M-D. 0

解析：設氣球勻速下降時受到的阻力大小為f，欲使氣球以同樣的速率勻速上升需從氣球吊籃中減少的質量為m.則氣球勻速下降時受力如圖2所示，由平衡條件得：

F+f=Mg①

氣球以同樣速率勻速上升時受力如圖2所示，由平衡條件得：

F=f+（M-m）g②

由①②兩式解得

m=2（M-），故選項A正確.

答案：A

類型二同一平面上互成角度的幾個力的平衡

同一平面上互成角度的幾個力的平衡，一般分為“同一平面上互成角度的三個力的平衡”和“同一平面上互成角度的三個以上力的平衡”兩種情形.

1． 同一平面上互成角度的三個力的平衡.

對于同一平面上互成角度的三個力的平衡，常用以下三種方法求解.

方法一：依據“任意二力合力與第三力等大而反向”作平行四邊形，根據平行四邊形的性質，應用三角函數、等腰三角形、相似三角形、正弦定律或余弦定律求解．

例2．（2009#8226;山東）如圖3所示，光滑半球形容器固定在水平面上，O為球心，一質量為m的小滑塊，在水平力F的作用下靜止于P點.設滑塊所受支持力為FN.OP與水平方向的夾角為θ．下列關系正確的是 ( )

A. F=B. F=mg tanθ

C. FN=D. FN=mg tanθ

解析：小滑塊受到重力mg、支持力FN和水平力F作用，由于小滑塊受力平衡，所以重力mg與F的合力F′ 跟FN等大而反向，如圖所示.由圖4可得 F=，FN=，所以選項A正確.

答案：A

例3．(2005#8226;遼寧)兩光滑平板MO、NO構成一具有固定夾角θ0=75°的V形槽，一球置于槽內，用θ表示NO板與水平面之間的夾角，如圖5所示.若球對板NO壓力的大小正好等于球所受重力的大小，則下列θ值中哪個是正確的（）

A．15°B．30°C．45°D．60°

解析：小球受到重力mg、OM板的支持力N1和ON板的支持力N2作用，由于小球受力平衡，所以N1與N2的合力F跟重力mg等大而反向，如圖6所示.由于N2=mg，所以∠1=∠2 ①

又由幾何關系得

∠2＋θ＝１８０°－θ０＝１０５° ②

∠１＋∠2＋θ＝１８０° ③

由①②③式解得θ=30°，所以B選項正確.

答案：B

例4．如圖7所示，半徑為R的光滑半球面固定不動，在球心O的正上方離球心距離為h的A點，系一根長為L的細線，細線的下端拴一個重為G的小球，小球靠在半球面上B點靜止不動．試求半球面對小球支持力和細線對小球的拉力的大小．

解析：小球受到重力G、細線的拉力T和半球面的支持力N作用，由于小球受力平衡，所以T與N的合力F跟重力G等大而反向，如圖８所示．由圖可以看出，三角形BCD與三角形OBA相似，所以有＝=，解得N=G，T=G．所以半球面對小球支持力的大小N=G，細線對小球的拉力的大小T=G．

例5．放風箏是春天時大人、小孩都愛玩的一項有趣的體育活動， 手上牽著線拉著風箏迎風向前跑，就可以將風箏放飛到高處．有一小朋友將一只重為4N的風箏放飛到一定的高度后，便拉住線的下端以一定的速度勻速跑動，線與水平面成53°角保持不變，這時小朋友拉住線的力為5N，求此時風箏所受到的風力大小和方向．

解析：設風力的大小為F，方向斜向上與豎直方向的夾角為θ，對風箏進行受力分析，風箏受到重力G、細線的拉力T和風力F作用，由于風箏受力平衡，所以T與G的合力F＇跟風力F等大而反向，如圖１０所示．由余弦定理得F2=T2+G2-2#8226;T#8226;G#8226;cos143°，解得F==N=N．又由正弦定理得=，解得sinθ=sin143°=×0.6=，所以tanθ=，即θ=arctan．

（例1應用了三角函數，例2應用了等腰三角形，例3應用了相似三角形，例4應用了正弦定理和余弦定理．）

方法二：應用拉密定理求解.

拉密定理：如圖１１所示，如果同一平面內互成角度的三個力的合力為零，則這三個力一定滿足= =．（式中的Fl、F2、F3、α、β和γ的意義如圖所示）

例6．(2004#8226;廣東)用三根輕繩將質量為m的物塊懸掛在空中，如圖１２所示．已知ac和bc與豎直方向的夾角分別為30°和60°，則ac繩和bc繩中的拉力分別為（）

A． mg， mgB． mg ， mg

C． mg ， mg D． mg， mg

解析：取c點作為研究對象，其受到ac繩的拉力T1、bc繩的拉力T2和豎直ac繩的拉力T3=mg，如圖１３所示．由于c點受力平衡，所以由拉密定理得：==解得T1=mgsin120°= mg，T2=mgsin150°= mg。所以選項A正確．

答案：A

方法三：應用正交分解法求解.

例7．（2008#8226;重慶理綜）滑板運動是一項非常刺激的水上運動，研究表明，在進行滑板運動時，水對滑板的作用力FN垂直于板面，大小為kv2，其中v為滑板速率（水可視為靜止）．某次運動中，在水平牽引力作用下，當滑板和水面的夾角θ=37°時（如圖１５所示），滑板做勻速直線運動，相應的k=54 kg/m，人和滑板的總質量為108 kg．試求（重力加速度g取10 m/s2，，sin 37°取，忽略空氣阻力）：

（1）水平牽引力的大小；

（2）滑板的速率；

（3）水平牽引力的功率.

解析：（1）以滑板和運動員為研究對象，其受力如圖所示，如圖建立正交坐標系，由共點力平衡條件可得

FNsinθ=F①

ＦＮcosθ=mg②

由①②聯立解得F=mgtanθ=108×10×0.75N=810N.

(2)由題意知FN=Kv2③

由②③聯立解得V==m/s=5m/s.

(3)水平牽引力的功率P=Fv=810×5W=4050W.

2． 同一平面上互成角度的三個以上力的平衡.

同一平面上互成角度的三個以上力的平衡，一般都應用正交分解法求解．

例8．（2010#8226;山東理綜）如圖１６所示，質量分別為m1、m2兩個物體通過輕彈簧連接，在力F的作用下一起沿水平方向做勻速直線運動（m1在地面， m2在空中），力F與水平方向成θ角。則m1所受支持力N和摩擦力f正確的是 ()

A． N=m1g+m2g-Fsinθ B． N=m1g+m2g-Fcosθ

C．f=Fcosθ D． f=Fsinθ

解析：以m1、m2兩個物體為研究對象，其受力如圖17所示，如圖建立正交坐標系，由平衡條件可得

Fcosθ=f①

N+Fsinθ=（m1+m2）g ②

由①②解得f=Fcosθ、N=（m1+m2）g-Fsinθ，故AC選項正確．

答案：AC

類型三空間互成角度的幾個力的平衡

空間互成角度的幾個力的平衡問題，常用以下兩種方法求解．

方法一：先設法將空間問題簡化為平面上的問題，然后再將平面上的問題簡化為直線上的問題．

例9．如圖18所示，在傾角β=30°的粗糙斜面上放一物體，物重為G，現用與斜面底邊平行的F=G/4的力推物體，物體恰能沿斜面斜向下做勻速直線運動，試求物體與斜面之間的動摩擦因數μ．

解析：從前往后看，物體受到除滑動摩擦力f以外的其它力如圖19所示，我們將重力G分解為G1=Gsiuβ和G2=Gcosβ，由于Gl、F和f都在ABCD平面內，N與G2是平衡力(即N=G2=Gcosβ)，因此在ABCD平面內的Gl、F和f三個力的合力為零，即G1和F的合力與f等大而反向(如圖19（乙）所示)，由圖可得

f===.

又f=μN=μG2=μGcosβ=.

解得μ==0.79.

方法二：應用空間正交分解法求解

例10．如圖２０所示，光滑卡槽靜止不動，卡槽中的水平木板以速度vl勻速運動，將質量為m的物體緊貼卡槽的邊緣放在木板上，物體與木板間的動摩擦因數為μ．要使物體在木板上沿卡槽的邊緣以速度v2勻速運動，在木板所在平面內平行于卡槽邊緣方向上的推力F應為多大?

解析：當物體在力F作用下，在木板上沿卡槽的邊緣以速度v2勻速運動時，物體相對于木板以速度v2運動的同時，以速度v1′=v1沿v1反方向運動，所以物體相對于木板運動的相對速度v是v1′和v2的矢量和，木板對物體的滑動摩擦力f與v反向，因此物體受力如圖21，我們如圖建立空間正交坐標系，由平衡條件得：

fcosβ=N1 ①

fsinβ=F②

N2=mg ③

又f=μN④

由①②③④式解得 F=μmgsinβ

由圖可得sinβ=，所以F=．

責任編校李平安