含有絕對值不等式的處理方法

在高中數學的試題中，常常會出現一類含有絕對值不等式的試題，它的難度中等，技巧性較強.本文就這類問題與同學們談一談它的處理方法.

例1． 已知函數f（x）=x+2-x-1．

（Ⅰ）試求f（x）的值域；

(Ⅱ)設g（x）=（a>0）若對s∈（0，+∞），t∈（-∞，+∞），恒有g（s）≥f（t）成立，試求實數a的取值范圍．

【分析與解】第一問中f（t）的表達式中含有二個絕對值，因此，我們首先考慮的是去掉這二個絕對值，再由一次函數的單調性即可以求出值域.第二問是恒成立的問題，g（s）≥f（t）恒成立等價于g（s）min≥f（t）max，因些，就把問題轉化為求二個最值的問題.解法如下：

（Ⅰ）函數可化為f（x）=-3， （x<-2）2x+1，（-2≤x≤1）3 ，（x>1）∴ f（x）∈[-3，3].

(Ⅱ)若x>0，則g（x）==ax+-3≥2-3，即當ax2=3時，g（x）min=2-3，又由（Ⅰ）知f（x）max=3．

若對s∈（0，+∞），t∈（-∞，+∞），恒有g（s）≥f（t）成立，即g（x）min≥f（x）max，

∴ 2-3≥3，∴ a≥3，即a的取值范圍是[3，+∞）．

【反思】這是一道難度中等的試題，運用了去絕對值符號的常用方法，分類討論去絕對值符號.利用這種方法可以處理含有絕對值的試題的大部分問題.如：求函數f（x）=2x+1-x的單調遞減區間.分類討論去絕對值符號，馬上得到單調遞減區間是（－∞，－），因此，同學們在復習時，不能把常規方法忘了，其實常規方法才是最自然的.

例2． 已知1，2，…，n∈（０，），n是大于1的正整數，

求證：sin（1+2+…+n）

【分析與解】這是一道絕對值不等與三角函數相結合的綜合性試題，顯然，采用分類討論去絕對值的方法是不行的，根本沒有辦法來分類討論.考慮到這是一個含有自然數n的一個不等式，因此，我們可以聯想到數學歸納法，不妨試一試：

證明：下面用數學歸納法證明:

（1）當n= 2時，有sin（1+2）=sin1cos2+cos1sin2≤sin1cos2+cos1#8226;sin2

所以n=2時，原命題成立.

（2）假設n=k（k≥2）時成立，即

sin（1+2+…+k）

當n=k+1時，有sin（1+2+…+k+k+1）

=sin[（1+2+…+k）+k+1]

=sin（1+2+…+k）cosk+1+cos（1+2+…+k）sink+1≤sin（1+2+…+k）cosk+1+cos（1+2+…+k）sink+1

故當n=k+1時，不等式也成立，

由（1）（2）得，原命題成立.

【反思】這個例題告訴我們，當絕對值符號不容易去掉的時候，不妨想一想不等式的特點，能否能其它的方法.在本例中，運用數學歸納法與三角函數的有界性，成功地處理了這個問題.

例3． 已知對于任意非零實數a和b，不等式2a+b+2a-b≥a（2+x+2-x）恒成立，試求實數x的取值范圍.

【分析與解】這是一道含有多個絕對值符號及一個變量、二個參數的綜合題，難度比較大.顯然，要去掉絕對值符號，不容易，因為絕對值太多了.所以，我們要從變量與參數的處理方法入手，再考慮去絕對值.含有變量與參數，我們一般是采用變量與參數分離，所以有下面的解法：

由題知:

2+x+2-x≤恒成立，故2+x+2-x不大于的最小值.

∵2a+b+2a-b≥2a+b+2a-b=4a，

當且僅當（2a+b）（2a-b）≥0時取等號，

∴的最小值等于4.

x的范圍即為不等式2+x+2-x≤4的解.

由絕對值的意義可知，x軸上的點到點（2，0） ，（-2，0）的距離的最小值就是4，當-2≤x≤2時，x+2+x-2的值是4，故不等式的解是-2≤x≤2.

【反思】在本例中，我們先采用變量與參數分離，再考慮利用不等式的性質來去掉絕對值，從而達到了求出參數表達式的最值.這個例子告訴我們，當面對眾多絕對值符號的時候，不要急于去掉絕對值，而要從整體考慮，到適當的時候再去掉絕對值，就能使解法水到渠成了.

從上述三個例子可以看出，含絕對值的不等式問題大致有這些處理方法：分類討論、三角不等式、絕對值的幾何意義、數形結合、數學歸納法等方法.當同學們遇到這類問題的時候，認真分析具體問題的情況，不要盲目地去消去絕對值，特別要注意解題的整體性.

責任編校徐國堅