估值法求解三角函數問題

在高考的《考試說明》中有七大能力要求，其中的一項就是“運算求解能力”，對此能力的要求是：會根據法則、公式進行正確運算、變形和數據處理，能根據問題的條件尋找與設計合理、簡捷的運算途徑，能根據要求對數據進行估計和近似計算.怎么“根據要求對數據進行估計和近似計算”？我們先看一例：

例1． 函數y=3sin(x+20°)+5sin(x+80°)的最大值是( )

A． 5 B． 6 C． 7D． 8

通常思路是把x+80°化成(x+20°)+60°，再把sin((x+20°)+60°)按公式展開，結合前面的式子化成一個角的三角函數，即可求解.或把x+20°化成x+80°-60°，具體過程如下:

y=3sin(x+20°)+5sin(x+80°)

= 3sin(x+80°-60°)+5sin(x+80°)

=3sin(x+80°)cos60-3cos( x+80°)sin60°+5sin(x+80°)

＝sin(x+80°)-cos( x+80°)

=sin(x+80°)#8226;-cos(x+80°)

＝7sin(x+80°-φ).

其中cosφ=，sinφ=，即φ=arctan.由此可知，y的最大值為7，選C.

在這里，必須熟練掌握asinα+bcosα化成一個角的三角函數的方法，否則就無法做下去了. 除此之外，對這樣一個題目，我們還有其它更簡潔的求解方法嗎？有的，請看：

∵x+20°與x+80°不可能同時取到k#8226;360°+90°，k∈Ｚ，

∴最大值不可能是8，排除D.

又當x=10°時，y=+5=6，大于A、B的值，故可排除A、B，選C.

對本題而言，顯然前一種方法麻煩，后一種方法省時省力（通過估算快速得到問題的結果）. 由此告訴我們，在解決問題時，我們不僅要掌握一些常規方法，也要掌握一些技巧性的方法，或者說是一些非常規方法，比如估算.

那什么是估算呢？估算是一種粗略的計算，實質是一種快速的近似計算.它的基本特點是對數值作擴大或縮小，從而對運算結果確定一個范圍，或做出一個估計.更本質地看估算，它應該是一種數學意識，是在蜂擁而來的眾多信息面前，迅速捕捉一批有用或關鍵信息的數學素養.

下面我們就以三角函數問題為例，說明估值方法的應用，期望對考生的思維方式的改進有幫助，有啟發.

１． 用概念性質估算.

概念是思維的細胞. 定義、性質是概念的重要組成部分. 正確簡便的方法，來源于對概念的正確、全面和深刻的理解.

例2． 函數y=lncosx-＜x＜的圖像是（）

解析：y=lncosx-＜x＜是偶函數，可排除B、D，又cosx∈（0，1］，所以lncosx（－∞，０］，故選A．

例3． 已知sinθ ＝，cosθ ＝（＜θ ＜π），則tan＝( )

Ａ.Ｂ. ||Ｃ. Ｄ. 5

解析：因受條件sin2θ ＋cos2θ ＝1的制約，故m為一定值，于是sinθ 、cosθ 的值應與m無關，進而推知tan的值與m無關，∵＜θ ＜π， ∴∈(，)，∴tan＞1，故選Ｄ．

點評：直接運用半角公式求tan，將會錯選Ａ．若直接計算，由()2＋()2＝1，可得m＝0或m＝8，∵ ＜θ ＜π， ∴ sinθ＞0，cosθ ＜0，故應舍去m＝0，取m＝8，得sinθ ＝，cosθ ＝，再由半角公式求出tan＝5，也不如上述解法簡捷.

從選擇題的條件出發，對結果進行合理的估計、估算，從而排除干擾支，得到正確答案.

2． 縮小范圍，進行估算.

例4． sin218°+sin254°的值為( )

A． 1B． C．D．

解析：∵0°＜18°＜30°，∴0＜sin18°＜?圯∴0＜sin218°＜.

∵45°＜54°＜60°，∴＜sin54°＜?圯＜sin254°＜，∴＜sin218°+sin254°＜1，排除A、C、D，選B.

說明：看似不可解的問題可解，全在于估算的魅力.

3． 取極端狀態進行估算.

對于有范圍限制的選擇題，或包含的情形比較多的選擇題，求解時，可運用極限思想，讓變量無限靠近某個值或取極端情形，求出極限，可得答案的求解方法.

例5 ． 設a>0，對于函數f(x)=(0

A. 有最大值而無最小值

B. 有最小值而無最大值

C. 有最大值且有最小值

D. 既無最大值也無最小值

解析:原不等式可化為f(x)=1+，由已知00，所以≥a，故選B.

例6． 若鈍角三角形三內角的度數成等差數列，且最大邊長與最小邊長的比值為m，則m的范圍是( )

A． (1，2) B． (2，+∞)

C．[3，+∞)D． (3，+∞)

通解:令△ABC中A為最大角，C為最小角，由題意得A+C=π，B=.

m===+cotC.又C<，∴cotC>，∴m>2，故選B.

優解：在△ABC中，不妨設A為最大角，C為最小角.由題設知B=， A+C=π，且C<，A>.當C→時，A→，則m=→2； 當C→0時，A→π， m=→+∞，故選B.

說明：在有限與無限的運用中，更重要的是一種觀念，一種意識，是在蜂擁而來的信息面前捕捉有用信息那種無限化有限、有限化無限的意識.

4． 取特殊狀態進行估算.

一般情形成立，特殊情形必成立.由此進行估算常能奏效. 取特殊狀態進行估算，包括取特殊點，特殊值，特殊函數，特殊圖形等等.

例7． 函數f(x)=Msin(ωx+φ)，(ω＞0)在區間[a，b]上是增函數，且f(a)=-M， f(b)=M，則函數g(x)=Mcos(ωx+φ)在[a，b]上（ ）

A． 是增函數B． 是減函數

C． 可以取得最大值MD． 可以取得最小值-M

解析：取特殊值.令φ=0，ω=1，M=1，則f(x)=sinx.

因f(-)=-1，f()=1，則［a，b］=［-，］，這時g(x)=cosx， 顯然應選C.

例8． 求值cos2?琢+cos2(?琢+120°)+cos2(?琢+240°)= .

解析：題目中“求值”二字提供了這樣信息：答案為一定值，于是不妨令?琢=0°，得結果為.

5． 通過圖像或其它信息進行估算.

例9． 過圓C：（x-1）2+（y-1）2=1的圓心，作直線分別交x、y正軸于點A、B，△AOB被圓分成四部分（如圖1）若這四部分圖形面積滿足SⅠ+SⅣ=SⅡ+SⅢ，則這樣的直線AB有（）

A． 0條 B． 1條 C． 2條D． 3條

解析：滿足條件的直線AB的條數，就是滿足直線AB與AO夾角的個數，為此我們設角∠BCE=α（如圖2）， 則BE=tanα，DA=cotα(0<α<)， 則由扇形面積公式S扇形=rα(α是扇形的中心角，r是扇形所在圓的半徑 )，可得:

SⅠ=S△ＣＤＡ－S扇形ＤＣＦ=cotα-(-α)，

SⅡ=S正方形ＯＤＣＥ－S扇形ＣＤＥ=1-，

SⅢ=S△ＢＣＥ－S扇形ＣＥＧ=tanα-α，

SⅣ=S半圓Ｃ=，

∵SⅠ+SⅣ=SⅡ+SⅢ，

∴cotα-(-α)+=1-+tanα-α，

整理得：tanα-cotα=2α+π-2，

由tanα-cotα=-2cot2α，可得cot2α=-α-+1，

以下分別考察函數y=cot2α和y=-α-+1(0<α<)的圖像，y=cot2α圖像周期為， 而y=-α-+1(0<α<)的圖像是直線y=-α-+1在區間(0，)上的一段，它們有且僅有一個公共點，即這樣的直線AB只有一條，故選B.

說明：面對一個“怪”的方程(左邊是三角函數式，右邊是一次函數式)，當然只能使用見“怪”不怪的方法——圖像法了.也就是說方程解的個數問題往往就是兩個函數交點的個數問題.本題還有一種更簡單更有創意的方法——構造函數，進行估算.

設SⅠ=f(x)，SⅢ=g(x)，則f(x)在(1，+∞)上為增函數，g(x)在(1，+∞)上為減函數.故函數y=f(x)-g(x)+SⅣ-SⅡ為(1，+∞)上的增函數，且x→1時f(x)→0，g(x)→+∞，∴y→-∞；同理x→+∞時，y→+∞.因此，有且僅有一個x值使y=0，故應選B.

例10． 若sin=，且sinθ＜0，則θ所在的象限是（ ）

A. 第一象限B. 第二象限

C. 第三象限D. 第四象限

解析：由sin＞０，知２kπ＜＜2kπ+π，由sin＝及三角函數線，可知２kπ+＜＜２kπ+π，所以4kπ+＜θ＜4kπ+π，又sinθ＜0，所以θ在第三象限，選C.

6． 合理猜測.

猜測也是一種能力，有時科學發現就含有猜測的成分，當然猜測應該有知識的依托.

例11． 已知sinθ+conθ=，θ∈(0，π)，則tanθ=__________.

解析：若θ為銳角，則sinθ+conθ＞1，所以θ只能是鈍角.聯系到平時最常見的正、余弦函數值，不難猜出sinθ=，conθ=-，則tan=-.

總之，運算求解能力是一項基本能力，在代數、立體幾何、平面解析幾何、概率與統計等方面都有所體現．在高考中多數題目的解決需要運算，運算的作用不僅是只求出結果，有時還可以輔助證明．運算求解能力是最基礎的又是應用最廣的一種能力．高考對運算求解能力的考查應注重算理和符號運算考查，合理控制計算量，注意精確計算與合理估算結合.

特別要強調的是，本文只提供了一種可能的方法，一種理念，不是所有三角函數問題都可以用這個方法來解決的，但無疑有這個意識能改變看問題的視角，增強我們解決問題的能力.

練習題：

1． 設函數f（x）＝４sin(2x+1)-x，則在下列區間中函數f（x）不存在零點的是（ ）

A． ［－４，-2］B． ［－2，0］C． ［0，2］D． ［2，4］

2． E，F是等腰直角△ABC斜邊AB上的三等分點，則tan∠ECF=（ ）

A.B.

C. D.

3. 記cos(-80°)=k，那么tan100°=（）

A.B. -

C.D. -

練習題答案：

1． 解析：將f（x）的零點轉化為函數g（x）=4sin(2x+1)與h(x)=x的交點，數形結合可知答案選A.

2． 解法1：約定AB=6，AC=BC=3，由余弦定理CE=CF=，再由余弦定理得cos∠ECF=，解得tan∠ECF=.

解法2：坐標化.約定AB=6，AC=BC=3，F(1，0)，E(-1，0)，C（0，3）利用向量的夾角公式得cos∠ECF=，解得tan∠ECF=.

3． 解析：由cos(-80°)=k，得cos80°=k＞0，又100°是第二象限的角，所以tan100°＜0，排除為正值的A，C.由正切線知tan100°＜-1，而k∈（０，），-=-＜-1，所以選B.

責任編校 徐國堅