淺析高中數(shù)學(xué)二次函數(shù)

摘要在高中數(shù)學(xué)的課程教學(xué)中，二次函數(shù)占有重要的地位，本文將針對高中數(shù)學(xué)二次函數(shù)的教學(xué)問題，對二次函數(shù)的概念、單調(diào)性、最值和圖像等問題進行分析和探討，以求加深人們對二次函數(shù)的認識。

中圖分類號:G633.6文獻標識碼:A

0 前言

二次函數(shù)作為數(shù)學(xué)中的一個重要的學(xué)科分支，在初中的數(shù)學(xué)教材中就已經(jīng)有了一些介紹，但是由于初中生接受新知識的能力有限，再加上此函數(shù)的一些理論比較抽象和深奧，所以初中生接觸的二次函數(shù)的內(nèi)容比較簡單，并且對二次函數(shù)的內(nèi)容的學(xué)習(xí)一般是機械性的學(xué)習(xí)，很難舉一反三地從本質(zhì)上對二次函數(shù)的概念、單調(diào)性和最值等知識加以理解。但是在經(jīng)過高中數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)之后以后，學(xué)生們對二次函數(shù)的認識有了一個飛躍，對二次函數(shù)的了解進一步的得到了加深。但是，二次函數(shù)在高考中占據(jù)很大的比重，所以我們對二次函數(shù)要有充分的認識，要充分重視對二次函數(shù)的學(xué)習(xí)。作為高考的一個重點知識點，在考前的復(fù)習(xí)中，我們要充分重視對二次函數(shù)的復(fù)習(xí)，要充分的理解二次函數(shù)的基本概念和基本性質(zhì)，對于二次函數(shù)的圖像、單調(diào)性和最值等高考常考的二次函數(shù)的知識都要在理解的基礎(chǔ)上熟練的掌握，并在掌握的基礎(chǔ)上學(xué)會對類似題目的舉一反三的運用，在學(xué)習(xí)了基本知識的基礎(chǔ)上，對二次函數(shù)還需要進一步的深入的學(xué)習(xí)。本文將結(jié)合教材中的一些知識對二次函數(shù)的基本知識進行系統(tǒng)的分析和討論。

1 二次函數(shù)的重要地位和作用

我們都知道，二次函數(shù)作為高考的重點內(nèi)容是高考的重點知識點之一， 特別是在近幾年的高考中占有越來越大的比重。二次函數(shù)是初等數(shù)學(xué)中最基本的概念之一，二次函數(shù)的基本知識和由其衍生出來的數(shù)學(xué)思維方式貫穿于整個初等數(shù)學(xué)知識之中，同時二次函數(shù)在我們的生活中也有著一定程度得益。

在二次函數(shù)的學(xué)習(xí)中，我們會發(fā)現(xiàn)二次函數(shù)中蘊含著豐富的數(shù)學(xué)思想，在二次函數(shù)的概念的基本內(nèi)容介紹中，其圖像和性質(zhì)體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想，這種數(shù)形結(jié)合的思想對于提高學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)具有重要作用，同時還可以為學(xué)生解決數(shù)學(xué)問題提供了更加廣闊的空間。

二次函數(shù)不僅自身可以作為一個重點的考察的知識點，同時他與高中數(shù)學(xué)的其他知識點具有緊密的聯(lián)系，二次函數(shù)的一些基本概念和知識是一元二次不等式和圓錐曲線等高中數(shù)學(xué)知識點有著密切的聯(lián)系，只有學(xué)好二次函數(shù)，才能為學(xué)好一元二次不等式和圓錐曲線奠定基礎(chǔ)。與此同時，二次函教還與一元二次方程、一元二次不等式等知識也存在著一定的聯(lián)系，間隔此函數(shù)的知識與解決一元二次方程、一元二次不等式的問題聯(lián)系起來，不僅有助于后者問題的解決，還能培養(yǎng)學(xué)生對所學(xué)知識融會貫通的能力增強學(xué)生的思考意識。

隨著近幾年來數(shù)學(xué)教學(xué)的變化，教學(xué)大綱對于二次函數(shù)的要求變得更加嚴格，他要求學(xué)生要更加靈活、多變的掌握知識點，因為如果不能很好的掌握二次函數(shù)的基本知識，那么要想學(xué)好其他的知識，譬如一元二次不等式和圓錐曲線就會出現(xiàn)一些障礙。教師要結(jié)合現(xiàn)在的教學(xué)實際，在平時的數(shù)學(xué)教學(xué)中要加強對二次函數(shù)的知識內(nèi)容與教學(xué)要求在銜接的基礎(chǔ)上給予加深、拓廣和拔高。通過循序漸進，在二次函數(shù)新知識的講解中適度地插入復(fù)習(xí)舊知識，以此來不斷的加深和拓寬二次函數(shù)的知識面。這樣既可以加強學(xué)生對二次函數(shù)的知識的銜接能力， 同時又可以加深學(xué)生對二次函數(shù)的新的知識點的理解與掌握，從而不斷地提高學(xué)生分析、解決二次函數(shù)問題的能力。綜上所述，加強對二次函數(shù)的應(yīng)用能力是學(xué)好高中函數(shù)部分的基礎(chǔ)，同時對學(xué)好其它的知識點也有重要的作用，因此，我們在高中數(shù)學(xué)的教學(xué)和學(xué)習(xí)重要充分的重視二次函數(shù)。

2 二次函數(shù)在高中數(shù)學(xué)中的應(yīng)用講解

2.1 對二次函數(shù)概念的理解

在二次函數(shù)的學(xué)習(xí)中，要理解二次函數(shù)的概念，就要首先弄清楚定義域和值域這兩個基本的概念，定義域是指在函數(shù)中所有輸入的值的集合，而值域是指函數(shù)中定義域?qū)?yīng)的所有輸出的數(shù)值組成的集合。結(jié)合高中數(shù)學(xué)的教材對二次函數(shù)的定義，我們可以這樣理解二次函數(shù)的概念:所謂二次函數(shù)，就是指從定義域到值域的對應(yīng)法則，在二次函數(shù)中，值域通過二次函數(shù)的對應(yīng)法則反映的關(guān)系式y(tǒng)=ax2+bx+c(a≠0)與定義域中的元素一一對應(yīng)，這個二次函數(shù)的對應(yīng)法則就可以表示為f(x)= ax2+ bx+c(a≠0)。

在二次函數(shù)的學(xué)習(xí)中，對概念的理解是最基本的，只有在理解了概念的基礎(chǔ)上才能進一步的學(xué)些此函數(shù)其他的相關(guān)知識。在對二次函數(shù)的學(xué)習(xí)中，學(xué)生要充分理解這一點，只有這樣才可能進一步的學(xué)習(xí)二次函數(shù)，在與二次函數(shù)的概念相關(guān)的題目中，有以下幾種類型的題目。

例題一:已知f(x)= 4x2+2x+2，求f(x-1)的值。

例題解析:這是關(guān)于二次函數(shù)的基本概念的一到比較典型的題目，在求解這類題目時，需要特別注意的一點事，要將f(x-1) 作為二次函數(shù)的自變量，而不能簡單地將-x-1的函數(shù)值看做是x = x-1時的函數(shù)值，這是沒有根據(jù)的。

2.2 二次函數(shù)的單調(diào)性和最值問題

在高中階段二次函數(shù)的學(xué)習(xí)中，二次函數(shù)的單調(diào)性和最值問題是一個經(jīng)常出現(xiàn)在高考中的知識點，因此在二次函數(shù)的學(xué)習(xí)中要注意二次函數(shù)的單調(diào)性和最值問題。具體我們可作如下的例題分析:

例題二:畫出圖像并通過圖象研究其單調(diào)性。

(1)y=x2+6|x-1|-1(2)y=|x2+1|

例題解析:在求解這類的二次函數(shù)的例題時，要注意區(qū)分其余一次函數(shù)的關(guān)系，因為在這種二次函數(shù)中有絕對值號，所以要想通過畫出函數(shù)的圖像來判斷其單調(diào)性，就要先把絕絕對值號去掉，而去掉絕對值號后，由于絕對值中的數(shù)值存在一定的變化，所以要用分段函數(shù)來表示去掉絕對值號后的二次函數(shù)，這樣將其變?yōu)楹唵蔚臎]有絕對值號的二次函數(shù)，通過描點法將二次函數(shù)分段在坐標系中畫出其圖像，然后就可以通過其圖象來判斷二次函數(shù)的單調(diào)性，從而求解出二次函數(shù)的這類題目。

例題三:已知二次函數(shù)y=x2+3x-4，求出其在2≤x ≤3上的最大值或最小值:

例題解析:這是一道典型的最值問題，一般而言，二次函數(shù)y=ax2+bx+c在某一個特定的區(qū)間上的最值問題可以分為三種情況:區(qū)間固定、對稱軸變動的問題，區(qū)間變化、對稱軸固定的問題，區(qū)間固定、對稱軸固定的問題，同時在求解這種類型的二次函數(shù)的問題時，要注意二次項的系數(shù)a的正負對與函數(shù)的圖像開口的關(guān)系，因為函數(shù)的開口就會決定其在某一區(qū)間上市區(qū)最大值還是取最小值。對于這類問題，可以通過判別式法、區(qū)間端點的函數(shù)值的符號法和對稱軸與區(qū)間的相對位置三種方法來求解。

2.3 二次函數(shù)反映的數(shù)學(xué)思維

二次函數(shù)作為高中數(shù)學(xué)一個重點的知識點，在學(xué)習(xí)的過程中要注意其反應(yīng)的數(shù)學(xué)思維和數(shù)學(xué)方法，要充分理解有關(guān)俄此函數(shù)的所有的知識點，并結(jié)合之前學(xué)過的其他的知識點，這樣才能夠在最終的總復(fù)習(xí)中能夠熟練地解出有關(guān)二次函數(shù)的綜合類的題目。

例題四:已知二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a不等于0)，在這個二次函數(shù)中，a，b，c滿足a+b+c=0和9a-3b+c=0，求證二次函數(shù)的圖象的對稱軸是一條直線。

例題解析:這是二次函數(shù)中比較典型的一類求證題，在這類題目的解題過程中，要注意綜合理解運用二次函數(shù)的知識點，同時要結(jié)合其他的知識點和數(shù)學(xué)思維來進行解題。

由已知a+b+c=0

9a-3b+c=0

代入原方程即可得到:

a=-1/3

b=-2/3

而二次函數(shù)的對稱軸為x=-b/2a

所以:x=-b/2a=-((-2/3)/2(-1/3))

將a=-1/3， b=-2/3代入上式，即可得到

x=-1

由此可知，二次函數(shù)的對稱軸是x = -1，是一條直線，所以原題得證。

3 結(jié)論

作為高中數(shù)學(xué)中的一個重要的知識點，二次函數(shù)對于高中數(shù)學(xué)而言具有重要意義。本文首先分析了二次函數(shù)在高中數(shù)學(xué)中的重要地位和作用，然后通過幾個立體來詳細的解析了二次函數(shù)的概念、單調(diào)性和最值問題，使讀者對二次函數(shù)有了更加具體的認識。二次函數(shù)是高中數(shù)學(xué)的重點知識，認識二次函數(shù)對于高中數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)具有重要意義。

參考文獻

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