一類離散線性切換系統基于切換路徑干擾下的穩定性分析

摘要本文討論了一類離散時間線性切換系統在路徑發生干擾下的穩定分析問題。我們利用兩個切換路徑之間的距離，得出一類離散線性系統基于切換路徑干擾的穩定性理論。

中圖分類號:O13文獻標識碼:A

0 引言

離散線性切換系統是由一系列的離散時不變子系統和描述它們之間的切換策略所組成。在過去的一二十年，在切換系統的諸如穩定性研究，最優控制等等方面研究很廣泛。

作為切換設計的首要問題，在文獻中干擾所引起的魯棒性在文獻中得到廣泛提及。對于一個切換系統，干擾可以強加于子系統內部，切換路徑上或者二者兼有得干擾。從一開始，對于子系統受到干擾的切換系統的穩定性分析研究很廣泛，成果也很多。然而，而對于后者現在研究鮮有，成果也很少。

近來，連續線性切換系統的切換路徑受到干擾時的穩定性方面的研究以有所展現。因此，本文就是基于前人的經驗，對于離散線性切換系統基于路徑干擾進行必要的初步的研究。

1 準備

定義Rn為n維歐幾里德實空間，R+為實正空間。定義為二維范數。M = {1，2，…，m}是有限指標集。

我們考察下面一類離散線性切換系統x(k+1) = Gp(k)x(k)x(0) = x0(1)

其中x∈Rn為系統狀態，p∈M為切換律，，m∈M為已知的系統矩陣。

給定一時間段[k0，kf )，一定義在[k0，kf ) 上的切換路徑為一個分段常量函數p，在此我們定義切換時間序列

Sp = {k0，k1，…，ks，…} (2)

切換序列

SSp = {(k0，p(k0))，(k1p(k1)，)，…，(ks，p(ks))，…} (3)

切換駐留序列

(4)

其中i = p(ki)，ki+1 - ki = li，i∈M。

(k;k0，x0，p)定義為系統1在切換路徑p，時刻 k處的狀態，表示為 ， k≥k0 (5)

定義矩陣函數

， k≥k0(6)

由此，我們可以給定系統的狀態

(k;k0，x0，p) =(k;k0，x0，p) x0 ， k≥k0 (7)

2 定義

我們假設為一系列類似于[a，b)(其中0≤ab，a，b∈M)的區間的集合。取定∈，定義一個微分同胚拓撲

:R+\\→R+

滿足

(k) = k - meas{s≤k:s∈}k∈R+

我們選取兩個切換路徑p1[k1，k2)，p2[k3，k4)，如果存在一個集合∈和一個時間轉移量∈R，使得

p2(k) = p1((k)-) k∈[k3，k4)

則我們就稱p1是p2的子路徑，或者p2是p1的父路徑，記為p1≤p2。

對于兩個切換路徑p1≤p2，定義二者的距離為

進一步的討論，對于三個切換路徑p1，p2，和p3，如果滿足條件p1≤p3和p2≤p3，我們就稱p3是p1和p2的公共父路徑，記為p3∈CP(p1，p2)。

定義 3.1 p1和p2，他們之間的距離定義為[1]

3 穩定性定理

下面的定理，我們認為，可以解決之前所提出的問題。

定理 1對于一類離散時間線性切換系統

x(k+1) = Gp(k)x(k)，x(0) = x0(1)

在切換路徑p1上是穩定的，對于任意的切換路徑p2，如果能滿足條件d(p1，p2)∞，則可以使系統保持穩定。

證明假設系統(1) 漸進穩定，由此前準備知識， 取定任意實數s∈(0，1)，就存在自然數m = m(s)，指標序列1，2，…，m，駐留序列{l1，l2，…，lm}，使之滿足。作為已知，駐留序列下，系統 (1)是穩定的。

假設為給定切換律且滿足d(p1，p2)∞。所以，(k4，k3，p2)可以表示成 ， j∈[0，lj) = 0，1，2，…，m滿足條件lj - j = d(p1，p2)為給定切換律且滿足d(p1，p2)∞。由以上定義，我們可以找到一個p1和的p2父切換路徑p3。定義區間k = [(k-1)T，kT且滿足T = lj。因此，我們可以利(下轉第104頁)(上接第93頁)用子父路徑的性質得出以下一個重要的事實:在路徑干擾下系統的狀態是有界的。這就暗示了切換路徑p2傳遞矩陣鏈是穩定的，也就意味著路徑p2可以使得這個切換系統是漸進穩定的。

綜上，這就意味著，對于一類離散時間線性切換系統依然是穩定的，如果在切換路徑受到干擾是在一定有限范圍內。

4 結論與展望

在此文章中，我們主要引入了切換路徑間的距離討論了一類離散時間線性切換系統在路徑發生干擾下的穩定分析問題。雖然所做的工作是初步的，但我們相信它對于我們以后的研究，諸如混雜系統在路徑干擾下的穩定性研究還是有一定的裨益的。

參考文獻

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