不變量原理在數學解題中的運用

摘 要: 不變量原理是一個啟發性原理，運用不變量原理去解決數學問題，有時能使解題達到一種意想不到的境界。本文通過闡述利用數的不變量、形的不變量、性質的不變量與構造不變量去解決問題供大家體驗和感受，以此增強運用不變量原理去解決數學問題的意識。

關鍵詞: 中學數學 利用 不變量 解決問題

先提出一種高級的解題策略:設有一個動態的變化過程，它有一點復雜，但從中有不變的東西，稱為不變量，那么找出不變量對問題的解決會有所幫助。因為不變量原理是一個啟發性原理，要想掌握和運用這個原理，最好是通過體驗和感受來學習。下面我例舉幾個用不變量去解決問題的例子，讓大家有所感受和體驗。

一、利用數的不變量去解決問題。

數的不變量包括方程的解、線段的長度、角的大小等，它們雖是一些動態變化過程中最常見而又普通的量，但只要你抓住了它們，就能很快地解決問題。

例1.解方程:(x-3x+3)-3(x-3x+3)+3=x。

解:設f(x)=x-3x+3，則f(x)=x的解也是f[f(x)]=x的解。這里f(x)=x的解稱為f[f(x)]=x的不動點，它就是一個不變量。易知它是1或3，因此(x-3x+3)-3(x-3x+3)+3-x有因式(x-3)(x-1)，兩者相除得x-2x+1=0，得x=1。所以原方程的解為1。

例2.如圖1，有一個3×8的縱橫線路圖，一只小蟲沿縱橫線向上或向右從A點爬到B點，則不同的爬行方式的總數是。

解:無論哪一種爬行方式，縱的爬行3，橫的爬行8，這是兩個不變量，一共是11個位置，只需確定縱的爬行位置，剩下的自然是橫的爬行位置，所以爬行方式的總數是C。

例3.已知⊙C過定點A(p，0)(p>0)，圓心C在拋物線y=2px上運動，若MN為⊙C在y軸上截得的弦，設|AM|=m，|AN|=n，∠MAN=θ。求+的最大值和最小值。

解:我們猜想，在圓心的運動過程中存在某個不變量。通過作圖試驗，我們發覺，似乎MN的長度幾乎沒有什么變化，因此猜想這個長度為一個不變量。事實上，設圓心坐標為(，y)，則半徑R=(-p)+y，又弦心距為，則|MN|=2=2=2p，為一個不變量。在△AMN中，|MN|=|AM|+|AN|-2|AM|·|AN|·cos∠MAN，即4p=m+n-2mncosθ，又S=|MN|·|OA|=·2p·p=p，這也是一個不變量。同時S=mnsinθ，則p=·mn·sinθ，mn=，所以m+n=4p+，所以+==2(sinθ+cosθ)=2sin(θ+)。易知0<θ≤，則2sin(θ+)∈[2，2]，所求的最大值和最小值分別是2和2。

二、利用形的不變量去解決問題。

形的不變量包括點、線、面、軌跡等，它是較數的不變量稍復雜一點的不變量，往往與數形結合、運動極限等數學思想方法結合在一起使用，在解決解析幾何、空間軌跡、三角函數等問題時，使解題達到一種意想不到的效果。

例4.△ABC中，BC=18，sinB+sinC=sinA，求△ABC面積的最大值。

解:由正弦定理得AC+AB=BC=30，再由橢圓定義知，點A在以B和C為焦點，長軸長為30的橢圓上，這是形的不變量。易知當A為橢圓的上下頂點時，△ABC的面積最大，所求的最大值為·18·=108。

例5.已知直線l:x=ky+b(b>0)和拋物線c:y=2px(p>0)交于不同的兩點A、B，分別求出當∠AOB為銳角、直角、鈍角時，b的取值范圍。

解:我們猜想∠AOB為直角時，b是一個不變量，即直線l過一個定點，這是一個形的不變量。

設AO:y=mx，BO:y=·x(m≠±1)。

由y=mxy=2px得A為(，)，同理，B為(2pm，-2pm)。則AB:y+2pm=(x-2pm)=(x-2pm)，易知(2p，0)是上述方程的解，此時AB過定點(2p，0)。m≠±1時，也滿足這一點。所以∠AOB為直角時，即直線l過定點(2p，0)，這是一個形的不變量，此時b=2p。

如圖2，當∠AOB為鈍角時，在∠AOB內作一直角∠A′OB′，其中點A′、B′在拋物線上c:y=2px。由圖易知，直線AB的橫截距小于直線A′B′的橫截距2p，所以此時02p。

例6.已知直線m、n及平面α，其中m∥n，那么在平面α內到兩條直線m、n距離相等的點的集合可能是:①一條直線，②一個平面，③一個點，④空集。其中正確的序號是。

解:因為m∥n，則m、n確定一個平面，設為β，在平面β內作m、n的平行線l，使l到m、n的距離相等，過l作平面γ⊥β，則到直線m、n的距離相等的點的集合為平面γ，這是一個形的不變量。抓住這個不變量，只需考查γ和γ的所有可能的位置關系情況，得出正確的序號是①、②、④。

三、利用性質的不變量去解決問題。

性質的不變量包括數的符號特性、數的奇偶特性及數列或函數的周期特性等。嚴格的說其中有些不是量，但它們在數學問題的解決中有著廣泛的運用。

例7.若方程x-3ax+2=0(a>0)有三個不同的實數根，求a的取值范圍。

解:設f(x)=x-3ax+2，則y=f(x)的圖象和x軸有三個不同的交點，f(x)的兩個極值異號，這是一個符號不變量。求得f′(x)=3x-3a，由f′(x)=0得x=±，知x=±時，f(x)有極值。由f()f(-)<0，得a>1。

例8.給定數列{a}，已知a=a=1，a=2，且對任意的自然數n都有aaa≠1，aaaa=a+a+a+a，求a+a+…+a。

解:由條件知aaaa=a+a+a+a

aaaa=a+a+a+a

則aaa(a-a)=a-a

(a-a)(aaa-1)=0

因為aaa≠1，所以a=a，知數列{a}為周期數列，T=4這是一個性質不變量。由已知求得a=4，則a+a+…+a=25(a+a+a+a)=200。

例9.現有一場大型會議，參加會議的人有過多次握手。握過奇數次手的人組成集合A，握過偶數次手的人組成集合B，求證:2|cardA。

證明:開始時，cardA=0，是一個偶數。如果A中的兩個人握手，則cardA減少2;如果B中的兩個人握手，則cardA增加2;如果A中的一個人和B中的一個人握手，則cardA不變。因此，在任何時刻cardA的偶數特性并沒有改變，這是一個性質不變量。故命題得證。

四、構造一個不變量或含有不變量的變化過程，運用不變量原理去解決問題。

如果你面對的是一個棘手的、似乎也是靜態的問題，那么可以試著讓它動起來，適當構造一個與原問題有聯系的動態變化過程，使原問題成為變化過程中一種或某一時刻的特殊情況，并觀察其中是否有不變量。這樣做會對問題的解決有所幫助或啟示。

例10.在△ABC中，求證:sinA+sinB+sinC≤

證明:∠A、∠B、∠C是變化的，注意到等號成立當且僅當A=B=C=，因此構造一個不變量sin，原問題轉化為證明:sinA+sinB+sinC+sin≤2。而sinA+sinB+sinC+sin=2sincos+2sincos≤2(sin+sin)=4sincos=4sincos(-)≤2。

當且僅當“=”成立時，A=B=C=。故原不等式得證。

例11.如圖4，三棱錐A—BCD中，AB=CD=4，BC=AD=5，AC=BD=x，則x的取值范圍是?搖?搖?搖。

解:首先易知1

如圖4，我們首先假想是一個平行四邊形，其中AB=CD=4，BC=AD=5，AC和BD交于O。接下來把平行四邊形ABCD沿AC折疊，在折疊過程中BO+OD是一個不變量，AC也是一個不變量為x，且折疊到某一狀態使之成為圖3。易知BO+OD>圖3中的BD，即AC，也是圖4中的AC，所以在圖4中，BD>AC，則∠ABC為銳角，故5+4-x>0得x<。上面說到，把平行四邊形ABCD沿AC折疊，且折疊到“某一狀態”使之成為圖3，使圖3中的AC=BD=x，那么這種假想的“某一狀態”是否存在呢?是否需要x再滿足什么條件?在圖3中，作BE⊥AC于E，DF⊥AC于F，FG平行且等于BE。易知，∠GFD為二面角B—AC—D的平面角，設為θ，BG⊥GD，則:BD===。

把圖4沿AC繼續折疊，此時EF和DF是折疊過程中的不變量，當θ越來越小時，線段BD越來越小，當θ=0時，BD取得最小值。為使“某一狀態”存在，則必然BD的最小值EF>AC，則垂足E和F必落在線段AC內(不包括A、C)。因此∠BCA和∠BAC都為銳角，只須BC=5對應的角∠BAC為銳角，則4+x>5，x>3。所以x的取值范圍是3

例12.已知數列{a}中的每一項為1或-1，并且有S=aaaa+aaaa+…+aaaa。求證:4|n。

證明:我們考慮把某一個a換成-a，比如把a換成-a，則aaaa，aaaa，aaaa，aaaa都改變符號。如果四項中兩正兩負，則S不變;如果四項中三個同號，則S±4;如果四項同號，則S±8。開始時，S=0能被4整除，把某一個-1換成時，由上面的分析知S能被4整除的特征沒有改變，這是一個性質不變量。一步一步地，把每一個-1換成1，最后得到S=n。易知4|n。

運用不變量原理去解題時，首先要分析在變化過程中是否有不變量。這個不變量一般是數、形或性質的不變量。其次是研究這些不變量對問題的解決有否幫助。最后是如何運用不變量去解決你的問題。要做到以上三點并不是一件容易的事情，且主動構造一個不變量或含有不變量的變化過程，再運用不變量原理去解決問題更是比較困難的。因此，最好的辦法是嘗試著用它去解決一些習以為常的問題，增強運用不變量原理去解決數學問題的意識。從中你會有所感悟，同時它也會成為你解決某些問題的利器。