也談數學課堂中的概念教學

摘 要: 數學概念教學是數學教學的基礎。在數學概念的教學中，教師要正確利用過去經驗和直觀背景，發揮它們有利的一面，消除它們的不利影響，并通過正確使用正反例加深學生對概念本質特征的理解。

關鍵詞: 數學概念教學 教學經驗 直觀背景 正反例證

數學概念是構成數學知識體系的基礎，也是學生認知的基礎，所以數學概念教學既是數學教學的重要環節，又是數學學習的核心。但由于數學概念有很強的邏輯性并常用抽象的符號表示，學生在理解時常出現擴大或縮小概念內涵和外延的現象。特別是在新模塊的知識體系中，最早出現的、最基礎的數學概念，學生掌握起來就有一定的困難。因為新的知識體系在學生的思維中仍然存在一定的跳躍性，并且新的概念和以往已經掌握的概念的聯系性不強或不明顯。如在教《三角函數》這一章節時，學生對三角函數概念的理解就是一個常見的難點。再如《立體幾何》中，異面直線和異面角的理解也是一個難點。所以在數學教學中，對于如何讓學生自然地獲得概念的內化、正確地掌握概念的內涵和外延是需要我們進行不斷探索和研究的。下面我就數學概念教學談談自己的一些感悟。

一、正確利用過去經驗

過去經驗包括日常生活經驗和數學活動經驗，其中數學活動經驗指數學知識和數學技能經驗。根據維果茨基的“最近發展區域理論”，要使學生從現有水平達到發展水平必須借助于搭建腳手架，這個腳手架就是過去經驗。而過去經驗對于數學概念的掌握有利也有弊，我們要正確利用。

(一)過去經驗有利于數學概念掌握的兩個方面。

首先，每個數學概念雖有其獨立的內容，但與其他數學概念又有著廣泛的聯系。一個數學概念的內部包含著一系列相互聯系的概念，自身凝縮為一個結點與其它概念緊密地聯系著。如學習一元二次不等式時，一元二次不等式凝縮為一個結點，它可以和一元二次方程、二次函數相聯系。一元二次方程也可以凝縮為一個結點和一元一次方程、一元高次方程、整式方程、分式方程、無理方程相聯系。像這樣不斷向外擴展凝縮，形成了不同層次與水平，構成了概念網絡。所以，一方面，我們可以利用學生已經掌握的數學活動經驗搭建聯系學生現有水平與發展水平的腳手架。另一方面，對于新的概念來說，與它聯系的舊概念越多，這個概念的理解程度就愈高，其運用就愈迅速。對于舊概念來說，學習新概念的辨析過程也是不斷加深理解舊概念的過程。所以，我們必須加強新舊概念的聯系，使其構成一個概念網絡。

其次，費賴登塔爾曾經提出數學的根源在于普通常識，對學生來說，數學知識并不是“新知識”，在一定程度上是一種“舊知識”，在他們的生活中已經有許多數學知識的體驗，課堂數學學習是他們生活中有關數學現象經驗的總結與升華[1]。并且，現代課堂倡導從現實世界出發，即從日常生活經驗出發，使日常生活經驗與教材內容發生交互作用，構建他們自己的數學知識。所以，在課堂上我們可以引用大量的具體例子，一方面，這些具體的例子具有極豐富的生活背景，有助于理解數學概念。另一方面，教師通過這些大量的具體例子，利用歸納、類比、化歸等數學思想方法，可以概括出概念的本質屬性。

(二)過去經驗對于數學概念掌握的不利影響。

過去經驗容易導致錯誤意象或殘缺意象的建立。首先，日常術語的模糊性、多義性將造成數學概念的不精確。如“相似”的概念，在日常生活中學生常理解為形狀“差不多”的事物。再如數學中“群”、“極限”等概念的含義與日常術語幾乎完全不同。其次，有時表面上學生接受了新的概念，但在以后運用時會不自覺地回到舊概念的限制中去。如在已知三角函數值求角的題目中，學生的答案常被限制在0°到360°之間。對問題:“已知|x|=4，求x。”大多數同學認為x∈R，極少數同學認為x∈C。最后，過于強調過去經驗容易使學生形成思想懶惰和教條主義的傾向，不易于知識運用于新異情境，不利于培養學生的創新能力。

所以，在進行數學概念教學時，我們一方面要發揮過去經驗對概念教學的正面影響，使其有利于學生形成初步的概念的表象。另一方面要通過比較新舊概念的異同，建立新的概念。當新概念不能轉化為已有概念時，就要擴大原有認知結構，重新建構新概念。通過比較正反多方面的信息，學生能不斷更新對概念的認識，加深對概念的理解，擴大對各種屬性、性質、運用的認識。

二、正確使用直觀背景

直觀背景包括數學概念學習中所使用或接觸的直觀材料、所進行的直觀活動、依據的直觀經驗、采用的直觀語言等。斯肯普曾分析得出結論:超過個人已有概念階段的高階概念不能用定義方式來溝通，只能匯集有關的例子供其經驗，再靠他自己抽象地形成概念。直觀背景有助于學生形成鮮明的概念的感知和表象。所以，在課堂教學時，教師向學生提供一定量的直觀背景，比直接向學生提供概念定義要好得多。如教學時，教師可以用具體題目來幫助學生理解抽象符號或應用特殊化和一般化的數學思想幫助學生理解復雜抽象的概念。現在比較提倡在數學課中加入數學史，讓學生真切體會概念的形成，以及把解決問題的思想融入數學課堂教學，就是利用直觀背景使學生更容易形成概念的表象。

但直觀背景使用不當會使學生的注意力集中在事物偶然的非本質特征上，從而發生錯誤。所以，首先教師提供的直觀材料如應用題，或直觀活動，不宜太復雜，不要有太多對概念的無益干擾。其次，第一次給學生提供的直觀背景會給學生留下深刻的印象。這些直觀背景必定會包含許多的過去經驗，教師需要及時消除過去經驗的不利影響，對概念的本質屬性作深入分析，否則學生下次在應用概念時就會用直觀背景來代替概念。最后，在選擇直觀背景時不能千篇一律，從頭到尾都只使用那幾個例子。如舉例畫三角形時只畫鈍角三角形，舉例數的時候只涉及實數范圍，畫二面角時只畫書上例題中常見的兩種圖形，等等。由于學生在思考問題時，時常不是從定義思考，而是根據概念的表象來思考的，所以這種千篇一律的舉例會限制學生的思維。

三、正確使用正反例

正例包括原型和變式。原型是概念的概括表象，是具有表征數學概念本質屬性的最典型的標準實例。我們在選擇原型時要使它能充分體現概念的所有特征，使它具有典型性和標準性。在學習概念的初期，原型能使概念的本質屬性確立，建立概念的正確的典型的表象。但只使用原型會使學生對概念的理解出現局限性。所以，在學生熟悉原型，對概念有初步理解后，必須給出變式。變式中無關特征增多，特殊化成分增多，本質特征有一定的隱蔽性，能使學生辨清原型中哪些是無關特征，哪些是本質特征，從側面使學生認識原型中本質特征，并可以防止學生思考時不考慮概念的定義，只用原型思考的思維模式。

反例中本質特征比變式更具有隱藏性，無關特征比本質特征更容易引用學生的注意，所以反例的判斷難度要大于變式。首先，反例可以更進一步凈化數學概念，深化學生對概念的理解。在教學過程中，除了教師給例題，還可以請學生自己構造例子。如在聽完教師或學生對概念的一段描述后，請“支持者”提出對描述內容贊同的地方，并解釋為什么和舉例。請“反對者”提出對描述內容不贊同的地方，并解釋為什么和舉例。“提問者”若對描述內容有疑問，可以提出疑問之處，大家來討論。這種方式能打破平常單一的判斷對與錯的模式。學生在參與判斷時，能形成“認知沖突”，激發起求知欲。學生構建例子的過程是對知識自我構建和應用的過程。通過分析學生舉的例子，教師能判斷出學生對概念的掌握程度。如果例子的形式越接近老師給出正例，說明該生對概念的掌握越處在初級階段，很有可能他只是模范，沒有抓住概念的關鍵。如果例子打破常規，很新穎，而學生又能把握住概念的本質特征，那么說明學生掌握概念較好并且有較好的創新和發散性思維。如果學生舉的例子錯了，通過同學的修正能及時發現自己的錯誤，對概念的理解更加精確。其次，反例的判斷可以使學生確信自己已掌握某一概念，增強學生學習的自信心，培養學生學習的興趣。

要在課堂上教好數學概念，教師要正確利用過去經驗和直觀材料搭建教學的腳手架，引導學生通過直觀活動自覺地形成概念，促使學生思維不斷地向抽象層次轉化。并通過變式和反例凈化概念，使學生辨清概念的本質特征，通過增強概念之間的聯系，加深對概念的理解并構建縝密的概念網絡。數學概念的學習有利于培養學生的思維能力，是學生進一步構建數學知識體系，發展學生數學素養的基礎。

參考文獻:

[1]孔企平，張維忠，黃榮金.數學新課程和數學學習[M].北京:高等教育出版社，2008，(4).