什么情況下不能直接用判別式法求分式函數(shù)的值域

求函數(shù)的值域是高考數(shù)學的基本要求之一，出現(xiàn)的頻率高。用判別式法求函數(shù)的值域是常見常用的方法。但并不是所有出現(xiàn)二次函數(shù)的形式的函數(shù)都能用判別式法，有些函數(shù)求值域是不能用判別式法的。什么情況下能直接用，什么情況下不能直接用呢?我認為一般情況下當分式函數(shù)的定義域為一切實數(shù)時，可以直接用判別式法。將問題轉化為關于以x為未知數(shù)(y看作系數(shù))的一元二次方程有實數(shù)解得問題。比如:求函數(shù)y=的值域是?搖?搖 ?搖?搖?搖。因為函數(shù)的定義域為一切實數(shù)R，即x有實數(shù)解，原等式可化為:

y(x-x+1)=2x-2x+3?圯(y-2)x-(y-2)x+y-3=0，由Δ≥0，y≠2?圯y∈(2，]。

但是，對于定義域不是一切實數(shù)R的分式函數(shù)，就不能直接用判別式法，如果要用判別式法，容易出差錯。比如:求函數(shù)y=的值域。

略解:由x+x-6≠0得x≠2，x≠-3。

∴函數(shù)的定義域為{x|x∈R，x≠2，x≠-3}，

由原函數(shù)變形得:(y-1)x+(y-4)x-6y-3=0。

關于x的方程(y-1)x+(y-4)x-6y-3=0有實數(shù)根且至少有一根不為2且不為-3。

(1)當y=1時，代入方程求得x=-3，而x≠-3，因此y≠1。

(2)當y≠1時關于x的方程(y-1)x+(y-4)x-6y-3=0為一元二次方程，可以驗證x=-3為該方程的根，x=2不是該方程的根，因此只有兩個根都為-3時不滿足題意，其余都符合題意，因此只需△≠0，即可得出即可得出y≠，由上可知:原函數(shù)的值域為{y|y≠1，y≠}。

顯然，這樣的解法很麻煩，學生不易理解，且容易出錯。因此，我建議對定義域不是實數(shù)R的分式函數(shù)求值域問題，不用判別式法，可以用下述的辦法來解決，既直觀形象又不容易出錯。

1.借助反比例函數(shù)求分式函數(shù)的值域

【例題1】求函數(shù)y=的值域。

解析:借助反比例函數(shù)的圖像研究分式函數(shù)的值域。

y====1+，x≠-3且x≠2。因為≠0，從而得知y≠1，再把x=-3代入，得知y≠。故原函數(shù)的值域為{y|y≠1，y≠}。

這樣的解法把問題轉化為初中階段已學過的熟悉的反比例函數(shù)，學生易于接受。

也可以結合反比例函數(shù)的圖像，這樣更直觀。

【例題2】求函數(shù)y=的值域。

y==

===-≠。

根據(jù)圖像y=-，且x≠-1，(圖略)。

所以y∈(-∞，)∪(，4)∪(4，+∞)。

拓展訓練:

①y=，x∈(-，+∞);答案:y∈(-∞，)。

②y=，x∈(-，1]。答案:y∈(-∞，-)。

2.利用基本不等式求分式函數(shù)的值域

【例題3】求函數(shù)y=，x∈(3，+∞)的值域。

解析:不能根據(jù)Δ≥0，因為定義域不是任意實數(shù)。

y==2[(x-3)++6]≥22+6=24，當且僅當x-3=?圯x=6時，等號成立?；蛄顃=x-3，根據(jù)分式(雙鉤)函數(shù)的圖像，考慮到t>0。

3.利用換元法求分式函數(shù)的值域

【例題4】求函數(shù)f(x)=，x∈[2，5]的值域。

解析:不能根據(jù)Δ≥0，因為定義域不是任意實數(shù)。

令t=x-1，則x=t+1，t∈[1，4]

g(t)=t+-2

y∈[2-2，9]。