微分學在不等式證明中的應用

摘 要: 本文分別探討了利用函數的單調性、函數的凹凸性、微分中值定理、函數的最值來證明不等式的方法。

關鍵詞: 微積分 不等式 應用

不等式的證明在數學學習中既是一個重點也是一個難點，方法也很多，我在此提出了以微分法求證不等式的幾種方法，其在實際應用中具有較高的價值。

一、利用函數的單調性證明不等式

若f(x)在區間(a，b)上的導數保持符號不變，則可確定f(x)的單調性。定理如下:

設函數y=f(x)在[a，b]上連續，在(a，b)內可導。如果在(a，b)內f′(x)>0內，則f(x)在[a，b]上單調遞增;如果在(a，b)內f′(x)<0內，則f(x)在[a，b]上單調遞減。

例1.證明:當x>0時，ln(x+1)>x-。

證明:設f(x)=ln(x+1)-x+，則f(x)在[0，+∞]上連續。當x>0時，有f′(x)=-1+x=>0，所以f(x)在[0，+∞]上嚴格單增。故當x>0時，f(x)>f(0)=0，即ln(x+1)>x-(證畢。)

利用函數的單調性來證明不等式的關鍵是第一步構造函數f(x)，第二步利用定理判斷出所構造的函數的單調性，然后得出f(x)>0或f(x)<0，從而證明出不等式。讀者可以類似證明下列不等式:

①x≥ln(1+x)(x≥0)，②lnx>(x>1)。

二、利用函數的凹凸性證明不等式

f(x)的二階導數的符號保持不變，這可確定f(x)的凹凸性。定理如下:設f(x)在[a，b]上連續，在(a，b)內二階可導，若f″(x)>0或(f″(x)<0)，則曲線y=f(x)在[a，b]上為凹(或凸)。

例2.證明:當0x。

證明:設f(x)=sinx-x，

則f′(x)=cosx-，f″(x)=-sinx。

因為當00，即sinx>x。

利用曲線的凹凸性證明不等式關鍵是先構造出函數f(x)，在判斷出在區間(a，b)上f″(x)的符號，從而得出曲線的凹凸性，并參考f(a)，f(b)的值，即可以證明出不等式。

三、利用微分中值定理證明不等式

主要利用拉格朗日中值定理來證明不等式，定理如下:

設函數f(x)于閉區間[a，b]上連續，開區間(a，b)內可導，則必有ξ∈(a，b)，使得f′(ξ)=。

例3.證明不等式|arctanx-arctany|≤|x-y|。

證明:設f(t)=arctant，t∈(x，y)，假設x

因為f(t)=arctant在[x，y]上連續，開區間(x，y)內可導，由拉格朗日中值定理得:

=，ξ∈(x，y)，

而||≤1，故≤1。

即|arctanx-arctany|≤|x-y|。(證畢。)

利用微分中值定理證明不等式的關鍵是先構造出函數f(x)，并確定出函數所在的區間。這兩項確定準確了再利用拉格朗日中值定理就可以證明出不等式。

讀者還可以類似證明如下不等式:①e>ex(x>1)，②ln(1+x)0)。

四、利用函數的極值證明不等式

當給定的不等式是具體的函數，該函數是連續函數，且又給出的自變量的變化范圍為閉區間，欲證明它大于等于或小于等于某個定數，這時利用最值證明比較簡單。

例4.設0≤x≤1，p>1，證明不等式≤x+(1-x)≤1。

證明:設f(x)=x+(1-x)，則f′(x)=px-p(1-x)。由f′(x)=0，得唯一的駐點x=。由f()=，f(0)=f(1)=1，知f(x)在[0，1]上的最大值為1，最小值為，因此有≤x+(1-x)≤1。

讀者還可以類似證明不等式:設x>0，0<α<1，證明x-αx≤1-α。

參考文獻:

[1]劉早清.高等數學.武漢:高等教育出版社，2008.

[2]南文勝.大學應用數學.上海:同濟大學出版社，2008.