讓和諧在數學課堂上詩意棲居

摘 要:數學課堂上簇生著很多對立的矛盾體，有效的教學要尋求它們“相生”的時機，“互融”的溫度，讓課堂上規范與自由得以“相映共生”，生活化與數學化順利鏈接，動手操作與靜思內化有機結合，形式包裝與內涵凸顯皆蓄共贏，自主建構與被動接受相得益彰，打造出課堂上一種動態的平衡，使對立矛盾得以和諧統一。

關鍵詞:數學課堂;有效教學;對立矛盾體;動態平衡

中圖分類號:G623.5 文獻標識碼:A 文章編號:1009-010X(2010)07-0047-04

在數學課堂上簇生著很多對立的矛盾體，規范與自由、接受與發現、形式與實質、生活化與數學化等等，而這些對立的矛盾體間又有著各自的表面張力。有效的課堂教學應充分發揮這些“張力”的合理內核，尋求它們“相生”的時機，“互融”的溫度，讓對立得以統一，使張力變成合力，共同打造出課堂上一種動態的平衡，使和諧真正在數學課堂上得以詩意棲居，學生在課堂上真正得到長足發展。

一、課堂上規范與自由的“相映共生”

“學生的數學學習活動應當是一個生動活潑的、主動的和富有個性的過程。教師作為課堂的組織者，應為學生營建一個有序、寬松、民主的課堂環境，充分發揮學生自主性、能動性和創造性，讓他們在一種自主和諧的氛圍中學習數學。但由于“任何深入的認識都必然地包含有一個規范化的過程……” 學生的這種“個性化”學習，顯然要經歷規范的過程，因為就學習內容而言，數學知識中包含諸如運算的法則、性質、公式、公理等數學事實(客觀性知識)，這些是“人類已經發現和認識的，是大家所公認的，不因地域和學習者的變化而改變……”是一種客觀的規范;而就活動過程而言，也需要一種規范來引導，需要一些有效的常規作保障。因此“自由”與“規范”要在同一框架得以統一，要在課堂上相互依存，共同作用。

如特級教師徐斌在教學蘇教版課程標準實驗教材二年級下冊的“兩位數乘一位數的不進位乘法計算”時，讓學生結合情景圖觀察，自己探索“14×2”算法，學生很快得出“10×2=204×2=820+8=28” ，在此基礎上，徐老師又讓學生自己嘗試列出豎式，結果學生的豎式列成了這樣:

然后結合他們的計算組織比較，怎樣才能使這種方法更簡便?哪一步可以省略?很自然地得出豎式的規范寫法和一般算法。

整個過程中，徐老師充分發揮了學生的自主性，讓學生自己探索算法，嘗試列出豎式進行計算，使學生在學習中得以自由穿行;同時又有效彰顯了知識的客觀性，讓學生通過比較交流，達成規范認識，實現了學生個性化學習(自主建構)和數學知識的客觀意義(客觀規范)之間的自然生長。而且課堂上徐老師除了要求課本、學具擺放有序以外(行為規范)，還經常要求學生獨立思考，提問學生“你明白他的意思嗎”(良好習慣)等，可以看出在個性化學習過程中，同樣需要一種活動規范來約束，讓學生在活動中自己知道該做什么、不該做什么、應該怎樣做等，這些規范框架猶如在學生自主學習的道路上構建起的一個個“紅綠燈”，促使了學生活動更加有序、流暢、有效，課堂因此行云流水，精彩紛呈。

而這些“客觀的”規范框架正如兵法上講的“以正合”，增強自主活動的有效性和科學性，學生在這樣的框架下能自由地進行有序活動，“進退自如”，又促進了規范的生態化、常態化、客觀化，使課堂學習自然地進入一種良性循環，而當自由與規范真正形成“相生”之勢，課堂上學生的思維真正得以自由流淌，自然就能經常收到許多不曾預約的精彩，真正做到“以奇勝”。

二、生活化與數學化的虛實鏈接

數學源于生活，又應用于生活。數學生活化能為數學學習提供現實背景，反映數學的應用價值，感受數學在解決問題時的作用，增強學生應用意識和實踐能力。而由于“數學還可以看做關于客觀世界數學化的過程，數學化就是數學地組織現實世界的過程”(弗賴登塔爾)。因此，生活問題數學化，能增強學生的數學眼光，幫助學生“學會數學地思維” 。在這兩個過程中，對于學生而言，生活是客觀存在的，是他們看得見摸得著的，實實在在的，而數學是以具體存在為背景抽象后的產物，看得見卻摸不著。不論數學化還是生活化，顯然都要進行“實”與“虛”的有效鏈接，通過鏈接溝通數學與生活的聯系，但這種鏈接并不是虛實之間的一拍即合，亦不是兩者之間的硬性嫁接，而是需要架起橋梁，留足緩沖讓學生在“虛”、“實”之間來回穿行。

如教學蘇教版五年級下冊的“找規律(圖形覆蓋)”時，課前引入和課后練習是這樣設計的:

(一)引入。

1.出示十張天文臺參觀券。

提問:如果想拿兩張連號的，你會怎樣拿?

如果想交流時再簡潔些可以怎么辦?(編號)

2.逐步抽象。

如果去掉這些入場券上的文字，只用編號來表示這些入場券就會變成這樣的一副圖

用一個這樣的長方形框框住1和2，表示拿兩張連號1和2。移動這個長方形框可以表示多種兩張連號的拿法，相互說說還有哪些不同的拿法?

……

(二)練習。

1.第一排有八位同學，如果老師想找相鄰的兩位同學來幫忙，有多少種不同的找法?

2.如果老師和這兩位同學都到一個劇場看演出，劇場一排有30個座位，我們按這樣的順序坐在一起，一共有多少種不同的坐法?

3.出示俄羅斯方塊，讓學生分別說說下落后有多少種不同的位置選擇?

由于本節內容圖形覆蓋是純數學的知識，相對比較抽象，這種“虛”需要與現實鏈接，實現生活化的過程。因此，從生活中拿連號的票入手，逐漸抽象出數學問題，然后通過探索發現概括出其數學模型，而建立模型后，又回到生活中應用，讓學生再次經歷“虛”與“實”的鏈接，實現數學化的過程，這樣在應用中讓學生逐步抽象，來回穿行，不斷豐富了對模型的理解與掌握。真正實現了課程標準上所要求的“從學生已有經驗出發，讓學生親自經歷將實際問題抽象成模型并進行解釋應用的過程”，從而實現了“生活化”與“數學化”的和諧統一。

三、動手操作與靜思內化的動靜結合

動手實踐是新課程倡導的一種重要的學習方式，它切合了學生的年齡特點和認知習慣，教材在編排中安排了大量的操作活動，讓學生在動手中探究方法、發現規律，明確算理等。但學生“動”起來后所獲得的畢竟還是一些感性認識，積累的也是一些感性的經驗，這么多的感性認識與經驗還需要進行咀嚼、消化，乃至融會貫通。這就需要靜下來對操作進行“內化”。正如鄭毓信教授所說:“如果我們始終停留于實際操作層面，而未能很好地實現活動的‘內化’，包括思維中的必要重構，就根本不可能發展任何真正的數學思維。”因此，動手操作與活動內化需要有機結合，而選擇有機的結合點，關鍵在于教師及時介入，適時引導。

1.“動”往何方，“靜”思方向。

每一次動手操作都是學生的一次探索之旅，至于能得到什么樣的結果，他們有時也不得而知，只能在一次次嘗試中摸索著前進的方向，而在他們操作迷失方向時需要結合“內化”來調整，通過調整為他們指明前進的方向，進一步鼓起他們繼續探究的勇氣。如教學“三角形的內角和”時，教師提出問題:是不是所有的三角形的內角和都是180°?你能想辦法來驗證一下自己的猜測嗎?學生首先想到的是用量角器去量，于是先量出每個角再計算，可計算中學生卻發現并不是所有三角形的內角和都是180°，有175°、有182°……此時就出現了學生對于操作活動的“迷失”，這就需要教師及時介入:可能哪兒出現問題，應該怎樣解決?促使學生 “靜”下來，通過“內化”調整很快就能發現量角時可能出現一點誤差，每個角誤差一小點，三個角合起來誤差就大一點，從而很快找出解決辦法，促使學生動手操作得以繼續深入進行。

2.“動”功告成，“靜”思提升。

當學生在動手操作中獲得大量感性認識后，而且這些感性認識足以為下一步學習提供充分的基礎，那么此時需要及時對這些認識進行提升，而不能在“動”中流連忘返、無所作為，因為積聚的這些感性認識需要通過“靜思”進行消化吸收，把感性上升為理性，把具體概括為抽象。如教學“兩位數加整十數或一位數”(蘇教版課程標準實驗教材一年級下冊)，老師組織了這樣的操作活動，幫助學生理解算理，建構算法:

師:要求大客車和中巴車一共坐多少人怎樣列式?

生:45+30

師:你能用小棒擺一擺或用計數器撥一撥算出45+30等于多少嗎?

生動手操作，有的用小棒擺，有的用計數器撥。

(班內交流。)

生1:我用小棒擺的，算出45+30=75。

生2:我用計數器撥的，算出45+30=75。

師:剛才用小棒和用計數器算45+30時都是先把哪部分合起來，再把哪部分合起來的?

(學生思考。)

生:先把整十合起來，再把幾十和幾個合起來。

師:如果用算式表達該怎樣說?

生:40+30=70，70+5=75。

這樣的現象我們經常能看到，學生通過操作很快就找到了答案，是不是他們已通過“動”解決了問題，不需要教師的講解與提升呢，顯然未必，學生的這些知識依然是感性的、膚淺的，需要教師溝通其認識中的共性，可以說正因為有了“靜”(剛才你用小棒和用計數器算45+30時都是先把哪部分合起來，再把哪部分合起來的)的思考，才有“動”(算法探索)的升華。

3.“動”有所得，“靜”思整理。

一次操作活動下來，學生不光是有了知識和能力上的收獲，對他們而言，還會有一些好的經驗和做法，這些經驗是星星之火，如果不加內化，任其自生自滅，對學生的基本活動經驗的建立將是一大損失。因此每次操作后，需要通過一些問題:“在操作中你有哪些收獲”、“你有哪些好的做法想和大家一起分享”、“你認為在本次操作中關鍵要做好什么”等，來讓學生“靜”下來對自己的零散經驗進行整理、匯聚，幫助他們把有效經驗進一步明晰化、系統化。

四、自主建構與被動接受的水火兼容

當前有這樣兩種共識，一是學生學習數學的過程是一個在其已有經驗基礎上的主動建構過程，另一個是小學生學習數學以有意義接受為主。兩種看似形同水火的觀點卻實實在在地唱響了課堂上學習數學的主旋律，學生數學學習需要主動建構也需要意義接受。因為“數學學習內容應該有不同水平的抽象層次的提升，沒有這種提升，學生的數學水平和數學思維將會停滯不前。”而就學習過程看需要讓學生“從不相干的材料中抽出最重要的東西，以及從外表上不同的材料看出共同點”(克魯捷茨基)。課堂上學生可以通過觀察、探索、歸納、概括等對知識進行自主建構，但對于建構過程中的一些“直觀發現”，則需要教師直接給以精準地概括，使學生的建構逐步擺脫低層因素，達到理性飛躍。如“素數和合數的認識”(蘇教版課程標準實驗教材四年級下冊)開展了這樣的活動:

師:你能找出2～9各數的所有因數嗎?

讓學生獨立完成，班內交流。

生:2的因數有1、2 ; 3的因數有1、3;4的因數有1、2、4……

師:你能根據這些因數的個數，把這幾個數分分類嗎?

小組內說說自己的分法。

生:因數有2個的有2、3、5、7;

因數有3個的有4、9;

因數有4個的有:6、8。

師:觀察一下:每類中各數的因數有什么特點?在組內說說你的發現。

生:因數有2個的這幾個數，它們的因數一個是1，另一個是它本身。而因數有3個、4個的這幾個數，除了有1和它本身，還有其它的數。

師:2、3、5、7這幾個數只有1和它本身兩個因數，這樣的數叫素數(或質數)。4、6、8、9這幾個數除了有1和它本身，還有別的因數，這樣的數叫合數。

整個學習過程中學生經歷了找因數、分類、分析特征等發現過程，這些是主動建構的過程，而在此基礎上教師直接給出理性的數學語言，使學生在發現的基礎上認識并接受概念。這樣“發現”是“接受”的有力支撐，而這樣的“接受”是對“發現”的精準提煉，自主建構和被動接受得以和諧統一，數學學習因此由“素樸的直觀”自然構建成“精致的抽象”。

五、形式包裝與內涵凸顯的形神皆蓄

數學表述的形式化彰顯了其抽象的特點。項武義教授曾生動地把數學比喻為美女西施，如果只是把數學形式地邏輯演繹一番，那就等于把西施放在X光下透視，你所看到的只是一副骨架而已，毫無美感而言。因此課程標準提倡采用生活場景、報紙圖片，影像資料、文字材料、游戲活動等多種方式來對數學內容進行外顯、還原與豐富，把數學有血有肉地展現出來，因此課堂上需要對數學內容與形式進行適當包裝。但數學就是數學，更需凸顯其本質，弘揚其自身的味道。也就是說在數學課堂上，形式包裝需要，凸顯本質也需要，“形”、“神”要皆蓄，這樣數學學習才能有趣、有效、有意義。但一味地形式包裝會把數學打扮得面目全非，可一味凸顯數學的味道，結果由于味道太濃，也會傷了學生的“胃口”。因此盡管課堂上要“形”、“神”皆蓄，但在把握上還是要注意分寸。

1.“形”是佐料，“神”是正菜。

形式包裝與內涵凸顯如同做菜佐料和正菜的關系，課堂中不能本末倒置，不能用“生活味”取代“數學味”，“形式化”取代“數學化”。相對而言，在低年級課堂上 “生活味”可略重一點，隨著年級的增加，“數學味”要重一些，而且在低年級對教材的呈現、練習的處理與設計、環節的組織等，“形”要多一些、豐富一些，來吸引學生的注意，激發學生的興趣，調動學生參與的熱情，但隨著年級的增加，“形”要適當減少些，要注意多用數學真正的顏色去浸染學生，用極具挑戰性的數學問題激發學生，用數學的獨特魅力去打動學生，用數學的內在美去吸引學生，用數學本質感召并啟迪學生，使他們能積極主動投入到數學學習中。

2.“形”是為凸顯“神”的味道。

總之，要讓和諧在課堂上得以詩意棲居，就需要讓那些對立矛盾體得到辯證地統一，“兩個矛盾方面的共存、斗爭以及融合成一個新范疇，就是辯證運動的實質。”當對立面形成了動態的、適度的平衡，矛盾體自然能如“秋水”與“長天”之間相映成輝，相生互融，涅槃重生，從而打造出課堂的詩意境界，而隨著這種平衡的不斷打破和不斷建立，昭示著數學課堂發展的內在和諧與源源動力。

參考文獻:

[1]鄭毓信，梁貫成.認知科學、建構主義與數學教育[M].上海教育出版社:194.

[2]沈重予.對數學課程功能、內容和評價的再認識[J/OL].小學數學教學網.

[3]馬云鵬.小學數學學論[M].人民教育出版社，2002:3.

[4]鄭毓信.簡論數學課程改革的活動化、個性化、生活化取向[J].教育研究，2003，(6).

[5]涂榮豹.數學學習與數學遷移[J].數學教育學報，2006，(4).

[6]張奠宙，王振輝.關于數學的學術形態和教育形態[J].數學教育學報，2002，(2).

[7]馬克思.馬克思恩格斯全集[M].人民出版社，1958:146.