例析不求反函數解析式的幾個策略

摘 要: 反函數是函數中最基本的概念，在歷年的高考中常以客觀題形式考查。本文根據近年來的高考試題，談談不求反函數解析式的幾個策略。

關鍵詞: 求解 反函數 問題 策略

對于一些求解反函數問題，只要充分理解反函數的概念，弄清原函數和反函數的定義域、值域之間的關系，了解互為反函數的圖像間的關系，運用反函數等價式，則可不必求出反函數的解析式也能迅速獲解。

一、利用原函數與反函數的定義域值域正好相反策略

例1:(2009年陜西卷理3文3)函數f(x)=(x≥4)的反函數為()。

A.f(x)=x+2(x≥0)B.f(x)=x+2(x≥2)

C.f(x)=x+4(x≥0)D.f(x)=x+4(x≥2)

【解析】由x≥4，得≥2，所以原函數的定義域為[4，+∞)，值域為[2，+∞)，則反函數的定義域為[2，+∞)，值域為[4，+∞)。通過觀察四個選項，知答案為D。

例2:(2008年天津卷文3)函數y=1+(0≤x≤4)的反函數是( )。

A.y=(x-1)(1≤x≤3) B.y=(x-1)(0≤x≤4)

C.y=x-1(1≤x≤3)D.y=x-1(0≤x≤4)

【解析】當時0≤x≤4時，1+∈[1，3]，反函數的定義域為[1，3]，排除B、D，值域為[0，4]排除C，選A。

點評:利用互為反函數的兩個函數的定義域、值域間的互換關系解題，可化繁為簡，快速準確。

二、利用原函數與反函數的圖像關于直線y=x對稱策略

例3:(2009年湖北卷文2)函數y=(x∈R，且x≠-)的反函數是( )。

A.y=(x∈R，且x≠)

B.y=(x∈R，且x≠-)

C.y=(x∈R，且x≠1)

D.y=(x∈R，且x≠-1)

【解析】由點(0，1)在原函數的圖像上，所以點(1，0)在反函數的圖像上，排除A、B、C，從而選D。

例4:(2006年重慶卷文10)設P(3，1)為二次函數f(x)=ax-2ax+b(x≥1)的圖像與其反函數y=f(x)的圖像的一個交點，則( )。

A.a=，b= B.a=，b=-

C.a=-，b=D.a=-，b=-

【解析】P(3，1)為二次函數f(x)=ax-2ax+b(x≥1)上的點得1=9a-6a+b。①

又P(3，1)為反函數上的點，則P(1，3)在原函數上，?圯3=a-2a+b。②

聯立①②解得a=-，b=。

點評:若函數y=f(x)的圖像經過點(a，b)，則它的反函數y=f(x)的圖像必過點(b，a)，反之也成立。利用這一結論，可避繁就簡，輕松解題。

三、利用原函數與反函數的等價式f(a)=b?圳f(b)=a策略

例5:(2009年重慶卷文12)記f(x)=log(x+1)的反函數為y=f(x)，則方程f(x)=8的解x=。

【解析】因為f(x)=8，所以x=f(8)=log(8+1)=2。

例6:(2007年江西卷文15)已知函數y=f(x)存在反函數y=f(x)，若函數y=f(1+x)的圖像經過點(3，1)，則函數y=f(x)的圖像必經過點。

【解析】若函數y=f(1+x)的圖像經過點(3，1)，則有1=f(3+1)?圯f(4)=1?圯f(1)=4。所以函數y=f(x)的圖像必經過點(1，4)。

點評:設函數f(x)的反函數為f(x)，則f(a)=b?圳f(b)=a。本題巧妙利用這一結論，回避了求反函數f(x)，解法簡捷明快。

參考文獻:

[1]薛金星.中學教材全解#8226;高一數學(上).陜西人民教育出版社，2008.

[2]任志鴻.贏在課堂#8226;高一數學(上).西苑出版社，2009.

[3]薛金星.2009年全國及各省市高考試題全解.人民日報出版社，2009.

[4]2009年高考數學試題分類解析(二)——函數.中國數學教育(高中版)，2009，(7-8).