初中實(shí)數(shù)運(yùn)算問(wèn)題的一些技巧

摘 要: 針對(duì)初中數(shù)學(xué)中考及各類競(jìng)賽，本文作者提出了多年教學(xué)經(jīng)驗(yàn)中積累下來(lái)的有關(guān)實(shí)數(shù)計(jì)算的各種教學(xué)經(jīng)驗(yàn)，并以例子講解的方式供讀者參考。

關(guān)鍵詞: 初中數(shù)學(xué) 實(shí)數(shù)運(yùn)算問(wèn)題 技巧

實(shí)數(shù)是整個(gè)初中，甚至整個(gè)中學(xué)數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)，搞好實(shí)數(shù)這一部分的教學(xué)有著極其重要的意義，本文通過(guò)下述關(guān)于實(shí)數(shù)的具體問(wèn)題的演練給出多年教學(xué)經(jīng)驗(yàn)積累下來(lái)的解題技巧。

例1:(2002年全國(guó)競(jìng)賽題)若S=，則S的整數(shù)部分是。

解:分母M=++…+含22項(xiàng)。

∴M>且M<，∴

例2:求不定方程(+x)(+y)=的有理數(shù)解。

解:方程可變形為(xy+2)+(x+y-1)=0……(*)，因?yàn)閤，y為有理數(shù)，所以xy+2，x+y-1為有理數(shù)，故(*)等價(jià)于xy+2=0x+y-1=0，所以x=2y=-1或x=-1y=2即為所求的有理數(shù)解。

例3:3個(gè)有理數(shù)a，b，c兩兩不等，那么，，中有個(gè)負(fù)數(shù)。

解:因?yàn)?8226;#8226;=1故，，中必有一個(gè)正數(shù)，不妨設(shè)>0則有兩種情況:(1)當(dāng)a>b>c時(shí)，，均為負(fù)數(shù)。(2)當(dāng)a

例4:設(shè)a，b，c，d都是實(shí)數(shù)，若|a+b|=4，|c+d|=2，且|a-c+b-d|=c-a+d-b，求a+b+c+d的最大值。

解:由已知|a-c+b-d|=c-a+d-b=-(a-c+b-d)知a-c+b-d≤0，即a+b2=|c+d|，所以a+b=-4，c+d=2或c+d=-2，所以a+b+c+d=-4±2=-6或-2。所以，當(dāng)c+d=2時(shí)，a+b+c+d的最大值為-2。

例5:一個(gè)四位數(shù)乘以4后為它的反序數(shù)(數(shù)碼相同而次序相反的自然數(shù))，求這個(gè)四位數(shù)。

解:設(shè)此四位數(shù)為據(jù)題意:×4=，因?yàn)?lt;10000，所以<2500，所以a≤2，又因?yàn)楸貫榕紨?shù)，所以a=2，原式化成4×=，從等式左面可以判斷d等于3或8。從等式右面看可以判斷d等于8或9。所以d=8，原式化成4×=，即4×(2008+100b+10c)=8002+100c+10b，所以13b+1=2c，又因?yàn)?c≤18，所以b=1，從而c=7，故原數(shù)為2178。

例6:若P=-，Q=-，R=-，那么P，Q，R的大小關(guān)系為( )。

A.P>Q>R B.P

解:設(shè)a=1998，則P=-=，Q=-=，R=-=，顯然P=R

故選D。

例7:計(jì)算:++ +…+。

解:∵====2(-)，

∴原式=2(-)+2(-)+…+2(-)=2(-)=。

例8:計(jì)算:1+2+3+…+(n-1)+n。

解:設(shè)S=1+2+3+…+(n-1)+n。

∴S=n+(n-1)+(n-2)+…+1，

∴2S=n(n+1)，∴S=。

例9:計(jì)算:1++++…+。

解:設(shè)S=1++++…+(1)，

則2S=2+1++++…+(2)，

∴(2)-(1)得S=2-。

例10:當(dāng)1≤x≤2時(shí)，化簡(jiǎn)根式-的結(jié)果是( )。

A.0 B.2C.2 D.-2

解:-=-=-=(+1)-(1-)=2，故選C。

例11:設(shè)x，y，a都是實(shí)數(shù)，并且滿足|x|=1-a，|y|=(1-a)(a-a-1)，試求|x|+y+a+1。

解:∵|x|≥0，|y|≥0，

∴1-a≥0(1-a)(a-a-1)≥0，即1-a≥0(1-a)(a-a+1)≤0。

又∵a-a+1=(a-)+>0，

∴原不等式等價(jià)于1-a≥01-a≤0，

∴a=1，從而|x|=|y|=0，x=y=0，

∴|x|+y+a+1=2。

例13:求證:任何有理數(shù)的平方都不等于2。

證明:假設(shè)有理數(shù)(p，q是互質(zhì)的整數(shù)，p≠0)滿足()=2，則有p=2q，從而p是2的倍數(shù)，為偶數(shù)。∴p也為偶數(shù)，設(shè)p=2k，則4k=2q，即2k=q，從而q也為偶數(shù)，這與p，q互質(zhì)矛盾，故假設(shè)不成立，所以任何有理數(shù)的平方都不等于2。

例14:設(shè)x，y，z為實(shí)數(shù)，A=x-2y+，B=y-2z+，C=z-2x+，證明:A，B，C中至少有一個(gè)為正數(shù)。

證明:由題設(shè)得:

A+B+C=(x-2y+)+(y-2z+)(z-2x+)

=(x-2x+1)+(y-2y+1)+(z-2z+1)+(π-3)

=(x-1)+(y-1)+(z-1)+(π-3)>0，

∴A，B，C中至少有一個(gè)為正數(shù)。

例15:關(guān)于x的方程kx-(k-1)x+1=0有有理數(shù)根，求整數(shù)k的值。

解:(1)當(dāng)k=0時(shí)，x=-1，方程有有理根。

(2)當(dāng)k≠0時(shí)，∵方程有有理根，∴△=(k-1)-4k=k-6k+1必為完全平方數(shù)，不妨設(shè)k-6k+1=m(m為非負(fù)整數(shù))，

∴(k-3)-m=8，即(k-3+m)(k-3-m)=8，又∵(k-3+m)與(k-3-m)奇偶性相同，且k-3+m≥k-3-m，從而有k-3+m=4k-3-m=2或k-3+m=-2k-3-m=-4，解得k=6或k=0(舍去)。

綜合(1)，(2)可知，方程kx-(k-1)x+1=0有有理數(shù)根，整數(shù)k的值為0或6。

參考文獻(xiàn):

[1]黃東坡.數(shù)學(xué)培優(yōu)競(jìng)賽新幫手[M].武漢:湖北辭書出版社，2007.

[2]盛磊，范麗，何曉.奧林匹克競(jìng)賽輔導(dǎo)#8226;數(shù)學(xué)[M].延吉:延邊人民出版社，2008.

[3]項(xiàng)昭義，陳斌，周春荔.全國(guó)奧林匹克初三競(jìng)賽教材(數(shù)學(xué))[M].北京:京華出版社，2008.