配方法解方程的魅力何以如此之大

一、教材背景分析

“一元二次方程的解法”一節內容是《一元二次方程》一章的重點內容，共分四小節。教材安排的教學順序是:1.直接開平方法;2.因式分解法;3.配方法;4.公式法。用這四種方法解方程各有長處，直接開平方法和因式分解法雖然簡便易行，但并不是所有一元二次方程都能用這兩種方法來解;配方法適用于所有的方程，是解方程的通法，但配方的過程比較麻煩;公式法是直接利用配方導出的，適用于解所有的一元二次方程，不如直接開平方法和因式分解法快捷。在具體解方程時，應根據方程的特點具體選擇恰當的方法求解。

依據《數學課程標準》所編寫的蘇科版教科書中解一元二次方程需要轉化成一元一次方程，而轉化的方法通常有兩種:通過開方降次轉化或通過分解因式降次轉化。將因式分解法解方程前置，緊跟在直接開平方法后，就是遵循了這樣的編排思想。用這兩種方法解方程都比用其它兩法解方程簡單這也體現了從簡單到復雜的學習順序。

二、教學片段與反思

片段1:在學完一元二次方程的解法并將它用于解決實際問題的教學中得到方程:x-8x-20=0，我隨口問學生:“此方程用何方法解好?”許多學生脫口而出:“配方法。”定睛一看，其中還不乏自己的一些得意弟子，不禁有些失望，繼而追問:“真的是配方法嗎?”這時才有零星幾個聲音小聲的回答:“因式分解法。”課還在繼續，但我的腦子里卻開始有一個問題揮之不去:學生在解一元二次方程時為何對配方法如此情有獨鐘?回想這幾天的作業，用合適的方法解方程，許多學生無論何方程都喜歡用配方法來解。甚至于形如(x-1)+x=6(x+1)(x-1)這樣的方程也有人愿意不辭辛苦地將其化成ax+bx+c=0(a≠0)的一般形式再來配方求解。

反思:配方法是一種重要的數學方法，涉及數學內容的方方面面，僅在本章知識中，除運用于解方程外，在求根公式的推導、根的判別式的應用中都運用到配方法，因此配方法作為一種重要的數學方法必須讓學生掌握，但就解法的便捷性而言，它遜于其它三種方法。而學生為什么要棄“簡”就“繁”呢?反思自己的教學結果，說明學生在學習一元二次方程的解法時，還沒有形成好的思維策略，在解法的選擇順序上還沒有養成“先特殊(直接開平方法，因式分解法)，后一般(公式法、配方法)”的思維習慣。

片段2:在學習用配方法解一元二次方程時我出示了如下兩題:

1. x-2x-1=0;2. x-4x+3=0。

方程x-2x-1=0用已學的直接開平方法、因式分解法均不能求解，那應該怎樣來達到降次轉化的目的呢?解決數學問題的基本思路都是以舊解新，用原有的認知結構束“對付”新的問題，按“思維定勢”去檢索自己的“武器庫”，搜尋合用武器、方法，再瞄準新靶。為了幫助學生找到合適的方法來解決這個新問題，我先讓學生解了這個方程:x-2x+1=2，學生很輕松地將其變形為(x-1)=2，然后用直接開平方法求解。得到我的啟發，學生學會了通過配方將x-2x-1=0變形為(x-1)=2來求解。順勢而下我讓學生解方程:x-4x+3=0。這時我聽到有學生很快地報出了答案，而且聽到了有學生在小聲地講“用因式分解法”。可惜我當時急于教會學生用配方法來解方程，來完成本節課的教學目標，擔心因式分解法的出現會干擾這一主題，因此將這樣的聲音視為了超出自己預設之外的“不和諧音符”。于是我繼續引導學生如何配方再開方降次。為了考查學生對配方法的理解，我還出示了四道習題:

1. x+2x-3=0，?搖?搖 2. -x-4x+2=0，

3. x(x+2)=24，?搖?搖?搖4. 2x-4x-3=0。

在總結了配方法后，當然又進行了一系列的由簡到繁的解方程的練習，我自認為對于學生在理解的基礎上去掌握這一基本技能的教學是成功、有效的。

反思:再次回顧片段2的教學過程，相信學生在學習中一定還有這樣的思維火花在閃動:方程x+2x-3=0、x(x+2)=24還可以用因式分解法來解，而且比配方法更簡單。但在我“忽略”掉了第一個“不和諧的聲音”后，學生順應了我的“暗示”，投入到配方法解方程的學習中，心無旁騖。如果我在應對自己預設之外的這一聲音時，變“不和諧”為“精彩”，鼓勵學生回顧我們所解的這些方程中除了配方法外，哪些還可用前面所學的方法來解，進而比較一下不同解法的特點，那么就能幫助學生在學習新知識時不斷地與舊知識進行回顧、比較，找出知識間的內在聯系和規律，相信學生也就不會出現在解方程時只對“配方法”情有獨鐘的尷尬了。

三、對教法的的建議

配方法、公式法早在公元前19世紀就已經為巴比倫人所知，而因式分解法的出現卻遲了整整3500年。那么因式分解法最初是如何被數學家想到的?從哈里奧特的例子中，我們可以看出，他是先遇到了方程(x-b)(x+c)=0，將左邊展開得到x-bx+cx-bc=0，由此反過來想到用因式分解法來解一元二次方程的。在笛卡爾的《幾何學》中，我們也可以看出這一點。他將一元一次方程x-2=0和x-3=0相乘，得一元二次方程程x-5x+6=0，它的兩根為2和3。

從一元二次方程解法的發展歷史來看，我們在教學的安排順序上是否也可調整如下:1.直接開平方法，2.配方法，3.公式法，4.因式分解法。這樣應該是更符合學生的認知發展規律。也許“片段2”中，當教師在“用配方法解方程”的教學時出示例題程x-4x+3=0，學生更能沉浸在用配方法得出方程解的喜悅中，而在因式分解法的教學中再將學生以前解過的一些方程拿出來解，相信因式分解法無可替代的簡便性一定能給學生的心靈以觸動和震撼。解一元二次方程的基本思路是降次，通過對“因式分解降次”與“開方降次”的這種比較性的學習，使學生更能有效地突破原有的思維方式或思維定勢，使他們經歷數學變化的歷程，享受那種數學發現的喜悅，這樣學生得到的便不僅僅是數學知識和方法，更應是智慧的啟迪、創新的誘發和對數學解題中“簡單美”的不懈追求，更好地激發學生的學習興趣。相信對“配方法情有獨鐘的學生”會少許多。

四、對教、學的再認識

1.認識到運算也是一種推理

初三數學教師常常因為時間的緊迫性，在教學中輕運算、重推理。對一元二次方程解法的教學中以傳遞知識為最終目的，對學生缺乏解題方法的總結，解題思維策略的指導。殊不知運算也是一種推理。對一系列數據實施運算，就是根據運算法則逐步推導，將所求對象有根據地導出結果的過程，所以提高學生的運算能力與提高學生的邏輯推理能力是相輔相承的。在教學中，我們應該重視運算的教學，并且將其作為培養學生良好思維品質，養成一題多解，解后反思的好習慣的知識載體。一元二次方程的解法是學習后面許多知識的重要基礎，而且在方程解法的學習過程中所滲透的轉化、比較、配方等數學思想方法，以及一道方程可能有的多種解法，都有助于學生思維多向性的培養，以及思維品質的提高。實際上，知識與能力是相輔相承的，在基礎知識的教學中，教師應注意讓學生對知識的掌握條理分明、系統嚴謹，對知識的運用達到“召之既來，來之即用”的高度。

2.在教和學中重視回顧與反思

“積學以儲寶”是古人的治學秘訣，“不積跬步，無以至千里;不積小流，無以成江海”，“合抱之木，生于毫末;九層之臺，起于累土;千里之行始于足下。”如果我們不能經常反思自己的教學，那么必然將忽視學生對知識的回顧、反思，對知識的學習就會像“狗熊掰玉米”一樣地不斷丟棄，學生又何以“行千里，成江河”呢?對知識的不斷反思正是我們培育“毫末”，廣積“壘土”，從足下做起的學習良方。

學生在解一元二次方程時對配方法的“情有獨鐘”，恰恰反映了在學習和解題時缺乏回顧和反思，前學后忘。而對學生“不和諧音符”思維火花的扼殺，也反映了教師本身對教學的回顧、反思的不足。在對大量學生的學習情況分析中表明，學習中的種種缺陷(例如:能聽懂但不會做題，公式回背但不會用，解題思路狹窄，不會提問題，等等)均與學生學習中欠缺“回顧、反思”的習慣有關。這就需要我們在教學中正確引導、嚴格示范，注重引導學生新舊知識的對比聯系，鼓勵學生“浮想聯翩”，在設計教案時，充分估計到教學中可能出現的各種情況，能應對學生提出的超出課堂預設的“怪問題”。教師應做到“放得出，收得住”，準確地駕馭教學進程，循序漸進地完成教學任務，將學生能力的培養不斷地推向新的高度。

參考文獻:

[1]董林偉主編.初中數學有效教學設計與研究.

[2]郭民，盧秀雙.數學學習策略.

[3]中學數學教學參考.2007，(1-2).