淺析異面直線的證明\\性質及應用

異面直線是高中數學的一個重要知識點，也是較難掌握的一個重要數學內容，異面直線是立體幾何開頭部分中一個抽象的概念，是個難點，為了幫助學生克服這個難點，增強學習的信心，掌握其知識點，并能熟練應用。下面從三個方面來研究探討異面直線的實際應用。

一、證明兩條直線是異面直線

證明兩條直線是異面直線方法有三:①用異面直線的判定定理;②從空間兩條直線的位置關系上反證;③從異面直線的定義上反證。所謂異面直線的判定定理是指“平面外點與平面內一點的連線和平面內不經過該點的直線是異面線”。從空間兩條直線的位置關系上反證，就是假設不是異面直線，則是相交和平行，再分別去推矛盾;從異面直線的定義上反證，就是假設不是異面直線，則兩條直線必然在某一個平面內，由此去推出矛盾，請看三例。

點評:當題中已知了圖形，證明異面直線可用判定定理。

例2:已知:a，b是異面直線，b∥c，且不相交，

求證:直線a，c是異面直線。

分析:從兩條直線位置關系上反證。

證明:假設a，c不是異面直線，那么a∥c或a，c相交，因為已知a，c不相交，∴a∥c。又b∥c，∴a∥b，“這與已知a，b是異面直線矛盾”，即是異面直線。

點評:當題中末給出圖形卻有直線的平行或相交等條件時，可從兩條直線位置關系上反證。

例3:已知:AB，CD是異面直線，

求證:直線AC，BD也是異面直線。

分析:從異面直線的定義上反證。

證明:假設AC，BD不是異面直線，那么AC，BD必在某一個平面(記為α)內，即A，B，C，D均屬于平面α，由平面性質知直線AB，CD均包含于平面α，“這與已知AB，CD是異面直線矛盾”，即AC，BD是異面直線。

點評:當題中末給出圖形也沒有直線的平行或相交等條件時，可從異面直線的定義反證。

二、異面直線的性質

性質1:分別和兩條異面直線都垂直的兩條直線平行。

已知:a，b是異面直線，直線m，n有m⊥a，m⊥b，n⊥a，n⊥b，

求證:m∥n。

證明:因a，b是異面直線，過a上任一點P作b′∥b，a與b′確定平面α，

∵m⊥bb∥b′?圯m⊥b′又∵m⊥a?圯m⊥α同理n⊥α?圯m∥n。

性質2:分別和兩條異面直線都平行的兩個平面平行。

已知:a，b是異面直線，平面α，β有a∥α，a∥β，b∥α，b∥β，

求證:α∥β。

證明:任取點O∈b，過O作a′∥a，∴a′∩b=O，a′，b確定平面γ(α與γ不重合，否則b?奐γ=a，這與b∥α矛盾，同理β與γ不重合)，且a′?埭α(否則a′?奐α，由a′∩b=O知b與a有公共點O，這與b∥α矛盾)，

a∥ αa∥a′a′?埭α?圯a′∥αb∥α?圯γ∥α同理γ∥β?圯α∥β。

三、應用異面直線的性質

例4:a，b是空間兩條不平行的直線，如果直線m，n有m⊥a，m⊥b，n⊥a，n⊥b，那么直線m，n的位置關系是?搖?搖?搖?搖。

分析:討論直線a，b的位置關系，分類解答。

解:由條件知直線a，b的位置關系只能是異面或相交。

(1)當a，b是異面直線時，由異面直線的性質1，知m∥n。

(2)當a，b是相交直線時，a，b可確定平面α，由m⊥am⊥b?圯m⊥α，同理n⊥α，所以m∥n。

綜上可知:m∥n。

點評:靈活運用異面直線的性質1。

例5:已知:a，b是異面直線，平面α，β有a∥α，a∥β，b∥α，b∥β，直線l?奐α，

求證:l∥β。

分析:先討論平面α，β關系，并利用這個關系。

證明:因為a，b是異面直線，平面α，β，有a∥α，a∥β，b∥α，b∥β，由異面直線的性質2，知α∥β?圯α與β沒用公共點，又l?奐α，所以l與β沒有公共點，由直線與平面平行的定義，知l∥β。

點評:靈活運用異面直線的性質2。

綜上所述，異面直線有三種證法，兩條性質，認真讀懂以上內容后，當遇到異面直線問題時，我們不僅可以從空間直線的分類或異面直線的定義上反證它，而且可以利用異面直線的判定定理直接證它，更重要的是我們能夠利用異面直線的性質證明兩條直線平行，證明兩個平面平行，這將大大提高我們解決異面直線問題的能力，以上幾個例子為我們解決異面直線題目提供借鑒與參考，從而使我們能得心應手地解決有關異面直線的題目。