斯篤茲定理與洛必達(dá)法則

摘 要: 本文介紹了洛必達(dá)法則與斯篤茲定理的相關(guān)推論，在離散與連續(xù)的條件下給出了應(yīng)用舉例。

關(guān)鍵詞: 斯篤茲定理 洛必達(dá)法則 離散 連續(xù)

1.問題的提出

離散與連續(xù)是數(shù)學(xué)中一對(duì)重要的矛盾，量的離散變化狀態(tài)有時(shí)可以看作是連續(xù)變化狀態(tài)的特別情況。由于連續(xù)變化的量的研究有許多方便的手段，如微分和積分，因此我們常常把離散變化的量的問題轉(zhuǎn)化為連續(xù)狀態(tài)來研究，從而求得問題的解決。

在求極限的過程中，斯篤茲定理和洛必達(dá)法則經(jīng)常被作為工具來求“”和“”型不定式的極限，本文分別給出了斯篤茲定理在連續(xù)與離散條件下的定理證明與推論，并給出了應(yīng)用舉例。

2.斯篤茲定理

定理1:設(shè){a}是趨于零的數(shù)列，{b}單調(diào)遞減趨于零，則當(dāng)存在或?yàn)?∞時(shí)，也存在或?yàn)?∞，且=。

證明:只考慮極限=L是有限數(shù)的情況。

由極限定義，對(duì)任意的ε>0，存在有N，

使當(dāng)n>N時(shí)，L-ε<

由于b-b>0，

于是當(dāng)m>n>N時(shí)，有(L-ε)(b-b)

(L-ε)(b-b)

……

(L-ε)(b-b)

相加后:(L-ε)(b-b)

令m→∞，(L-ε)b

所以，當(dāng)n>N時(shí)，L-ε<

即有:=L。

定理2:設(shè)b

證明:也只考慮極限=L是有限數(shù)的情況。

對(duì)任意的ε>0，使當(dāng)n>N時(shí)，L-ε<

與定理1證明相仿可得:(L-ε)(b-b)

因而(L-ε)(1-)<-<(L+ε)(1-)。

令n→∞，L-ε≤≤≤L+ε。

再令ε→0，可得:

==lim =L。

定理3:設(shè)T為正常數(shù)，若(a，+∞)上的函數(shù)f(x)，g(x)滿足:

(1)g(x+T)>g(x)，x∈(a，+∞);

(2)g(x)=+∞;

(3)f(x)在(a，+∞)的任意子區(qū)間(a，b](b<+∞)上有界;

(4)=l。

則極限存在，并等于l。

證明:對(duì)任意的正數(shù)ε>0，取X，使當(dāng)t>X時(shí)，有l(wèi)-ε<

如同定理1、2的證明，對(duì)任一自然數(shù)k，當(dāng)t>X時(shí)可有:

(l-ε)[g(t+kT)-g(t)]

但這個(gè)式子用起來，并不方便，現(xiàn)在對(duì)任一x>X+1，取自然數(shù)n，使得t=x-nT∈(X，X+1]，

于是有:(l-ε)[g(x)-g(x-nT)]

又記:A=|f(x)|，B=g(x)=g(X+1)，

則有(l-ε)-<<(l+ε)+。

令x→∞，就有l(wèi)-ε≤inf≤sup≤l+ε。

令ε→0，就得:=l。

定理4:設(shè)T為正常數(shù)，若(a，+∞)上的函數(shù)f(x)，g(x)滿足:

(1)0

(2)g(x)=0，f(x)=0;

(3)=l。

則極限存在，并等于l。

[注記1]當(dāng)l=+∞，-∞時(shí)，定理3、4的結(jié)論仍成立。

[注記2]取g(x)=x，可得下述:

推論1:若函數(shù)f(x)定義于區(qū)間[a，+∞)上，且在每一有窮的區(qū)間[a，b]上有界，那么

(1)=[f(x+1)-f(x)];

(2)[f(x)]=，(f(x)≥c>0)。

假定等式右端的極限都存在(有限或+∞，-∞)。

[注記3]取g(x)=x，則有:

推論2:若

(1)函數(shù)f(x)定義于區(qū)間[a，+∞)上，且在每一有窮的區(qū)間[a，b]上有界;

(2)存在著有限的或無窮的極限=l，那么=。

3.應(yīng)用

(1)運(yùn)用洛必達(dá)法則

例1.求極限。

解:記-1=α>0，則有α=0。

所以==。

這里，我們先將極限過程由“n→∞”轉(zhuǎn)化為“x→0”，然后應(yīng)用洛必達(dá)法則，得到=1。

(2)運(yùn)用斯篤茲定理

例2.記z=，則有:

z===。

這個(gè)極限的計(jì)算，當(dāng)然也可利用關(guān)于1+2+…+n的初等公式。但是，對(duì)一般的k，有關(guān)公式的推演遠(yuǎn)非這里的計(jì)算簡(jiǎn)單。

例3.進(jìn)一步，記u=n(z-)=，則有:

u===。

例4.設(shè)0

證法一:用數(shù)學(xué)歸納法可證明。對(duì)一切n有0

所以x單調(diào)下降且有界，所以x=x存在。而且滿足方程x=x(1-x)，因此x=0。于是運(yùn)用斯篤茲定理得到:

nx====(1-x)=1。

證法二:

∵x=x(1-x)及x=0，

∴對(duì)任意的ε>0，必有N，僅當(dāng)n>N時(shí)，有1<-=<1+ε。

關(guān)于n作和:n-N<-<(1+ε)(n-N)

∴1-<-<(1+ε)(1-)。

令n→∞，1≤≤≤1+ε，

令ε→0就可看出:nx=1。

參考文獻(xiàn):

[1]龔冬保.高等數(shù)學(xué)典型題[M].西安:西安交通大學(xué)出版社，2004.

[2]劉玉璉等.數(shù)學(xué)分析講義(第四版)[M].高等教育出版社，2003.

基金項(xiàng)目:浙江財(cái)經(jīng)學(xué)院教改項(xiàng)目。