2009年高考試卷(理數)中一道試題的新解法

在2009年全國普通高等學校招生統一考試全國卷Ⅱ理工類試題中，有一道立體幾何題，我認為:除了標準答案中提供的兩種解法外，還有一種通俗易懂，學生易于接受的解法。

現摘錄此高考題如下:如圖，直三棱柱ABC-ABC中，AB⊥AC，D、E分別為AA1、B1C的中點，DE⊥平面BCC。

(Ⅰ)證明:AB=AC。

(Ⅱ)設二面角A-BD-C為60°，求BC與平面BCD所成的角的大小。

證明:(Ⅰ)如下圖:取BC的中點F，連接AF，EF。

∵E是BC的中點，F是BC的中點，

∴EF∥BB，且EF=BB。

∵BB∥AA，且AA⊥底面ABC，D是AA的中點。

∴EF∥DA，EF=DA，

∴四邊形DAFE是矩形，

∴AF∥DE。

∵DE⊥平面BCC，

∴AF⊥平面BCC。

∵BC?奐平面BCC，

∴AF⊥BC。

∵F是BC的中點，

∴AB=AC。

(Ⅱ)∵D是AA的中點，由(Ⅰ)知AB=AC，DA⊥AB，DA⊥AC，

∴BD=DC。

設DA=m，AB=x，

則AC=x，AB⊥AC，

∴BC=x。

由(Ⅰ)知AF⊥BC。

∴由等面積法求得AF=x。

在Rt△ABD中，BD=，

∴DC=。

在△BCD中，F是BC的中點，BC=x，

∴CF=x，

∴DF==。

∵二面角A—BD—C的大小為60°，

∴cos60°==(射影面積法)，

解得x=m，即DA=m。

在Rt△ABC中，AB=AC=m，

∴AF=m，

∴矩形DEFA是正方形。

連接DF、EA，相交于O點。

則OE⊥DF。

由(Ⅰ)知AF⊥BC，

∵EF⊥BC，

∴BC⊥平面EFAD。

又EO?奐平面EFAD，

∴EO⊥BC。

又EO⊥DF，

∵BC∩DF=F，

∴EO⊥平面BCD。

連接CO，則∠ECO就是BC與平面BCD所成的角。

在Rt△EOC中，EO=EA=m，CE=BC=m，

∴sin∠EOC==，

∴∠ECO=30°

即BC與平面BCD所成的角為30°。

我認為:找二面角的平面角對學生來說是難點，上解無疑降低了本題的難度，同時也體現射影面積法在求二面角時的優越性。