函數與方程思想在數學解題中的應用

摘 要: 本文對數學中的函數與方程思想的內涵作了探討，并結合一些具體實例說明了函數與方程思想在數學解題中的應用。

關鍵詞: 數學 函數 方程思想 應用

函數與方程思想是指在數學問題解決過程中，根據問題中的數量關系，構造或建立適當的函數與方程，應用函數與方程的知識及其性質進行分析問題和解決問題。函數與方程思想可以使數學問題解決變得簡潔、明快，能夠化繁為簡，化難為易。這種思想在數學解題中有著廣泛的應用，下面我結合幾個具有代表性的例子予以說明。

一、函數思想的應用

1.求值

例1.已知實數x、y滿足(8x+7y)+x+9x+7y=0，求9x+7y的值。

分析:此方程為5次方程，不宜采用常規方法進行求解，觀察已知式子的結構特點，可以嘗試構造函數f(t)=t+t進行解決。

解:已知等式可變形為(8x+7y)+(8x+7y)=-(x+x)，構造函數f(t)=t+t，易知f(t)為奇函數且單調遞增，因而有f(8x+7y)=-f(x)=f(-x)，進而得:8x+7y=-x，即9x+7y=0。

點評:該問題解決的關鍵是函數的構造，并應用了函數的單調性與奇偶性，使問題得以解決。

2.解方程

例2.解方程:log(+)-log=0。

分析:本題采用常規解法難以奏效，可以先換元再利用函數的單調性加以解決。

解:設t=log，則x=4，進而得log(4+2)-t=0，即4+2=6，也即()+()=1，構造函數f(t)=()+()，由于f(t)在R上單調遞減，當t>1時，f(t)f(1)=1;只有當t=1時，f(t)=1，即x=4=16，經檢驗x=16為原方程的解。

點評:本題運用函數的相關性質來求解方程，是一種突破常規的新穎解法，體現了函數思想解決問題的獨到之處。

3.求范圍

例3.已知實數a、b、c、d、e、f滿足a+b+c+d+e+f=14，a+b+c+e+f=36，求a的取值范圍。

分析:本題通過常規途徑難以入手，但若巧妙地構造二次函數，則可以出奇制勝。

解:構造函數f(x)=(x-b)+(x-c)+(x-d)+(x-e)+(x-f)=5x-2(b+c+d+e+f)x+(b+c+d+e+f)=5x-2(14-a)x+(36-a)，

顯然f(x)≥0，因而△≤0，即4(14-a)-20(36-a)≤0，解得≤a≤4。

點評:本題巧妙地構造二次函數，再利用其性質進行解答，令人耳目一新。

4.證不等式

例4.已知x、y∈R，且x+y=，求證xy+≥。

分析:由結論的結構特點，可以想到函數f(t)=t+，再利用其單調性進行解決。

證明:0

點評:本題通過構造函數并利用其單調性使問題便捷地得以解決。

二、方程思想的應用

1.求值

例5.已知α=，β=，求的值。

分析:直接代入求解顯然比較繁瑣，觀察α、β不難發現二者是x-x-1=0的兩個根，因而想到構造二次方程來解決問題，簡化解題過程。

解:由于α+β=1，αβ=-1，因而可構造一個以α、β為根的一元二次方程x-x-1=0，則α-α-1=0，β-β-1=0，所以有==。

點評:本題根據根與系數的關系，構造二次方程，利用根的意義，再整體代入求解，使求解運算變得簡捷，達到化繁為簡的目的。

2.求范圍

例6.已知實數x，y，z滿足y+z-10=0，x-yz-8x+37=0，求x的范圍。

分析:通過已知等式容易求得y+z和yz，進而構造二次方程，利用判別式求得x的范圍。

解:由已知得y+z=10，yz=x-8x+37，因而y，z是關于t的一元二次方程t-10t+x-8x+37=0的兩個實根，因此判別式△=(-10)-4(x-8x+37)=-4(x-8x+12)≥0，解得2≤x≤6。

點評:本題首先將兩數的和與積表示出來，而后運用根與系數的關系，通過構造二次方程進行求解，新穎獨特。

3.證明不等式

例7.已知=(其中a、b、c均為實數)，求證b≥4ac。

證明:由已知可得7a-b+c=0，即a(-)+b(-)+c=0，因而-是實系數一元二次方程ax+bx+c=0的一個實根，所以有判別式△=b-4ac≥0，即b≥4ac。

點評:本題通過變形和轉化，從數與式的特征出發，應用方程思想使結論得以證明。

4.證明等式

例8.若實數滿足ln-4ln#8226;ln=0，求證:y=xz。

分析:觀察已知等式的結構可以發現其恰好符合一元二次方程判別式的形式，易于想到構造相應的二次方程加以證明。

證明:當x=y時，由題意可得x=z，此時x=y=z，顯然有y=xz。

當x≠y時，有ln≠0，構造關于t的一元二次方程:(ln)t+(ln)t+ln=0，易知此方程有一實數根t=1，由已知得該方程的判別式△=ln-4ln#8226;=0，所以兩根t=t=1，因而t#8226;t==1，進而得=，故y=xz。

點評:本題通過構造二次方程證明等式，充分體現了方程思想的獨特性與優越性。

總之，函數與方程思想是數學中最基本的思想方法，在數學學習中應注重該思想方法的訓練，熟練地予以掌握，強化應用函數與方程思想解決數學問題的意識，不斷地提高思維的靈活性。