構造完美圖形,優化幾何證明

“美是真理的光輝”，對科學美的完善和追求常常為發現新的理論、萌發新的思想提供重要線索。同樣，在幾何證明過程中，我們可以運用補美思想，通過延長線段，取中點，作平行線、垂線等多種方法，構造等邊三角形、正方形等完美圖形，充分利用這些基本圖形的美學性質，誘發直覺靈感，發現證題思路，培養創造能力，從而優化幾何證明。下面我談談構造完美圖形在幾何證明中的應用。

1.構造等邊三角形

等邊三角形具有三邊相等，三個角都為60°，重心、垂心、內心、外心四心合一等美學特征，證明過程中，通過構造等邊三角形，可以充分應用等邊三角形的基本性質，拓展解題思路。

例1.如圖1，△ABC中，AB=AC，且∠D=∠DBE=60°。求證:AE=EB+BC。

分析與證明:注意到AB=AC，且∠D=∠DBE=60°，那么能否構造等邊三角形呢?嘗試延長BC至F，使CF=BD，連結AF。

∵AB=AC，

∴∠ABC=∠ACB，∠ABD=∠ACF，

∴△ABD≌△ACF，

∴DB=CF，且∠D=∠F。

又∵∠D=60°，

∴△ADF是等邊三角形，

∴AD=DF。

又∵∠D=∠DBE=60°，

∴△DBE也是等邊三角形，

∴DB=BE=DE，

∴AE=EB+BC。

2.構造等腰三角形

等腰三角形具有兩腰相等，兩底角相等，底邊上的中線、頂角的角平分線和底邊上的高合一等美學特征，證明過程中，可以通過構造等腰三角形發掘解題思路。

例2.如圖2，△ABC中，從點A作∠ABC，∠ACB的平分線的垂線，垂足分別為P、Q。求證:PQ∥BC。

分析與證明:注意到已知條件與等腰三角形底邊上的中線、頂角的角平分線和底邊上的高合一等美學特征類似，能否構造等腰三角形證題呢?

延長AQ、AP分別交BC于E、F。

∵∠ABP=∠FBP，BP=BP，BP⊥AF，

∴Rt△APB≌Rt△FPB，

∴AB=BF，

∴△ABF為等腰三角形，

∴AP=PF。

同理，△ACE為等腰三角形，AQ=QE，

∴PQ∥BC。

3.構造直角三角形

直角三角形具有兩銳角互余，斜邊上的中線等于斜邊的一半，兩直角邊的平方和等于斜邊的平方等美學特征，證明過程中，構造直角三角形有時也可以“柳暗花明又一村”。

例3.如圖3，梯形ABCD中，∠A+∠D=90°，AD∥BC，設M、N分別為AD、BC的中點。求證:MN=(AD-BC)。

分析與證明:注意到條件∠A+∠D=90°，嘗試平移AB、CD，即過N作AB、CD的平行線交AD于E、F，構造△ENF。

∵AB∥EN，又BN∥AE，

∴四邊形AENB是平行四邊形，

∴AE=BN，∠MEN=∠A。

同理，FD=NC，∠MFN=∠D。

∵∠A+∠D=90°，

∴∠MEN+∠MFN=90°，

∴△ENF為直角三角形，

∴MN=EF=(AD-AE-FD)=(AD-BN-NC)=(AD-BC)。

4.構造全等三角形

全等三角形具有對應角相等，對應邊相等等美學特征，證明過程中，通過構造全等三角形可以將看似毫不相干的條件集中起來，實現問題的轉化。

例4.如圖4，以△ABC的AB、BC為斜邊向外作等腰直角三角形△AEB和△BFC，D為AC中點。求證:DE=DF，DE⊥DF。

分析與證明:要證DE=DF，可以由∠DEF=∠DFE得到，但與已知條件聯系不上，注意到D為AC中點，能否構造全等三角形尋找解題突破口呢?嘗試取AB、BC的中點G、H，連結EG、DG，DH、HF。問題在于證△EDG≌△DFH。

∵AD=DC，CH=HB，

∴DH∥AB，DH=AB，

∴∠CHD=∠CBA。①

又△AEB為等腰直角三角形，AG=GB，

∴EG⊥AB，EG=AB，

∴DH=EG。②

同理可證，HF=DG，∠AGD=∠CBA。③

由①③得，∠AGD=∠CHD。

又△BFC為等腰直角三角形，HF⊥BC，

∴∠EGA+∠AGD=∠FHC+∠CHD，即∠EGD=∠DHF④

∴由②③④得，△EDG≌△DFH，

∴DE=DF，∠HDF=∠GED。

又∠FDE=∠HDF+∠GDH+∠GDE=∠GED+∠AGD+∠GDE=180°-90°=90°，

∴DE⊥DF。

5.構造平行四邊形

平行四邊形具有對邊平行且相等，對角相等，對角線互相平分等美學特征，證題過程中，可以運用平行四邊形的性質實現等量的轉化。

例5.如圖5，在△ABC中，M為AB的中點，D為AB上任一點，N、P分別為CD、CB的中點，Q為MN的中點，PQ與AB相交于E。求證:AE=ED。

分析與證明:要證AE=ED，換種表示方式就是要證E為AD的中點。在△ADC中，N是CD的中點，連結PN、PM、NE。如果EN∥AC，則問題就解決了。又注意到在△ABC中，MP∥AC，且MP=AC，則只需證四邊形NEMP是平行四邊形即可。

∵N、P分別為CD、CB的中點，

∴NP∥DB，即NP∥EM，

∴∠PNQ=∠EMQ，

又∠NQP=∠MQE，且NQ=MQ，

∴△NPQ≌△MEQ，

∴NP=EM，

∴四邊形NEMP是平行四邊形，

∴PM∥NE。

又∵P、M分別是BC、AB的中點，

∴PM∥CA，

∴NE∥CA。

又∵N是CD的中點，

∴E為AD的中點，即AE=ED。

6.構造矩形

矩形具有平行四邊形的性質，同時還有對角線相等，四個角均為直角等美學特征，有時可以通過構造矩形，豐富解題途徑。

例6.如圖6，在正方形ABCD中，AE=CF，BG⊥CE。求證:DG⊥FG。

分析與證明:延長BG交AD于H;連結CH、FD，交點為O，連結OG。

在正方形ABCD中，∵BG⊥CE，

∴∠ABH=∠BCE，

∴Rt△ABH≌Rt△BCE，

∴AH=BE，

∴HD=AE，

又AE=CF，

∴HD=CF，

∴四邊形CDHF是矩形，

∴OH=OC=OD=OF，

∵在Rt△CGH中，OG=OC=OH，

∴OG=OF=OD，

∴DG⊥FG。

7.構造正方形

正方形具有四邊相等，四個角都是直角，對角線相等且垂直平分等美學特征，是完美的四邊形，通過正方形的構造，可以從多角度探尋思路。

例7.如圖7，在△ABC中，AB=BC，∠ABC=90°，D為BC的中點，在AC上取一點，使∠EDC=∠ADB，連結BE。求證:BE⊥AD。

分析與證明:看到已知條件，可想到正方形中的結論，能否構造正方形呢?過點C作BC的垂線交DE的延長線于F，連結AF。

∵D為BC的中點，

∴BD=CD，

又∠EDC=∠ADB，

∴Rt△ABD≌Rt△FCD，

∴CF=AB，且∠BAD=∠CFD，

∴四邊形ABCF為正方形，

∴BC=CF，且∠ACB=∠ACF=45°。

又EC=EC，

∴△BCE≌△FCE，

∴∠CFE=∠CBE，

∴∠BAD=∠CBE。

∵∠BAD+∠ADB=90°，

∴∠CBE+∠ADB=90°，即BE⊥AD。

總之，教師充分發揮數學美的解題功能，以美造美，加強補美思想在數學教學中的應用，不僅能使學生加深數學美的認識，而且能激發學生的學習興趣，提高學生的數學審美能力，進而讓學生在美感中領悟、探索和發現數學。