兩種期權定價模型在金融衍生產品中應用與比較

摘要：期權理論發展日新月異，期權的定價模型無疑是期權應用研究的一個主要方面。本文對較為常見的兩種期權定價模型進行闡述、解析、應用和比較。

關鍵詞：期權定價 二叉樹模型 Black-Scholes模型

一、期權的定義及定價模型

期權是一種權利，它賦予持有者在特定的時間內以某一確定的價格買入或賣出某種資產的權利。期權持有者享受權利但不必履行義務。因此，期權的持有者與期權的承約方的權利義務不對稱。

最常用的期權定價模型是Cox、Ross、Rubinstein等學者提出的離散時間定價模型——二叉樹定價模型和Fisher Black、Myron Scholes和Robert Merton提出的連續時間定價模型。

1．二叉樹期權定價模型

二叉樹期權定價模型假設表的資產未來價格僅有兩種——上漲或下跌，投資者可利用貨幣市場與股票市場復制出收益變動與期權完全相同的投資組合。

設：S0=股票即期價格，u=股票價格上升因子，d=股票價格下降因子，r=無風險利率，C0=看漲期權即期價格，C（ST）=期權在T時刻的收益，則二叉樹定價模型為

(1)

以上公式為單時段模型，若為多時段此公式依然適用。如果不斷地增加模型的時段數，就可以使期權價值更接近于實際。從原理上看，與單時段模型一樣，從后向前逐級推進。時段增加的同時也帶來了各時段的上升因子與下降因子如何確定的問題。為了保證年收益率的標準差不變，我們調整上升與下降因子分別為

其中 σ=股票價格波動率 ，T=期權的期限

計算的步驟與單時段模型類似。首先確定最后一期的期權價值，再根據最后一期的期權價值運用單時段模型計算出前一期的期權價值，依次向前推，得出看漲期權的期權現值。由此得出二叉樹定價模型的一般化公式為：

（2）

其中

A是使得S0ukdn-k＞K的最小整數k。

2．Black-Scholes期權定價模型

N（x）為標準正態分布變量的累積概率分布函數

C與P分別為歐式看漲期權與看跌期權的價格

S0=標的資產即期價格

K=期權的執行價格

r=以連續復利的為風險利率

σ=股票價格的波動率

T=期權的期限

2.1Black-Scholes模型的分析

Black-Scholes模型除了如何估計一個買權和或賣權的價值外，也透露了哪些因素會影響期權的價值。具體為

（1）標的資產的即期價格S0：標的資產即期價格的提高使得看漲期權的價值隨之提高；看跌期權恰好相反，標的資產價格越高，其價值越低。

（2）執行價格K：執行價格越高看漲期權的價值越低，看漲期權越易變為“虛值”，看跌期權恰好相反。

（3）期權期限T對于美式期權來說，較長的到期時間，能增加看漲期權的價值。到期日離現在越遠，買方可以有更多的機會來“等待獲利”，因此T越大，期權的價值也就越高。對于歐式期權來說。較長的時間不一定能增加期權的價值，雖然較長時間可以降低執行價格的現值，但并不增加執行的機會。到期日價格的降低，有可能超過時間價值的差額，因此并不一定增加期權的價值。

（4）股票價格的波動率σ：股票價格波動率被定義為股票收益率（股票價格變動比例）的標準差，它反映了股票價格的“發散”程度。對期權的持有者來說，股價上升可以獲利，股價下降的最大損失為期權費，兩者不能抵消。因此，股價的波動率變大會使期權的持有者價值增加。

（5）無風險利率r：執行價格的現值與無風險利率呈反比，無風險利率越高，未來購買標的資產的成本就越低，因此，無風險利率越高，看漲期權的價格越高，看跌期權恰好相反。

二、期權定價模型的實例

例 考慮一歐式股票看漲期權，股票的當前價格為40美元，執行價格為40美元，股票價格波動率為年率30%，無風險利率為年率9%，期權期限為6個月。

S0=40K=40σ=0.3r=0.09T=0.5

1、由Black-Scholes公式求期權價格

采用 Excel中的NORMDIST函數，得

N（d1）=0.6248N（d2）=0.4578

由式（3）得看漲期權的價格為

C=40×0.6248-40e-0.09×0.5×0.4578

=7.4858

2、運用二叉樹定價模型

將該模型分為6個時段，則每個時段長度為一個月

當S0ukdn-k＞K時

即S0u2k-6＞K

最小正整數k=4

由公式（2）得

=3.8535

可以看出根據Black-Scholes模型算出的理論價格為 美元，而根據二叉樹模型算出的理論價格為3.8535美元兩者差異很大。

下面將模型分為12時段依照6時段的方法可得看漲期權的理論價格為4.1820美元。與6時段相比，誤差較小。不斷地增加時段數，會使得誤差更小，在此不再贅述。二叉樹模型在推導期權理論價格時將存續期分為若干個小區間，并假設價格在每個小區間內變化一次，該模型并不是連續變化的。而Black-Scholes模型可看成是二叉樹模型的延伸。當把存續期分成的小區間長度越來越短，乃至有無窮多個小區間。在到期日將會有無窮多個股價出現，此時由二叉樹模型確定的期權價格將收斂于于由Black-Scholes模型確定的期權價格。

三、總結

一切模型都建立在一定的假設條件之上，模型的有用性取決于這些條件的合理性及被計量的那個衍生金融工具所隱含的變量是都符合這些假設中前提條件。雖然期權定價模型有一定的局限性，但在評估期權價值時，運用二叉樹模型與Black-Scholes模型仍是一種有效的方法。二叉樹模型比較直觀，此模型假設資產的價格在下一時間段只有兩種變化。單現實生活中企業進行投資選擇時，可能出現的結果并不只有兩種，此時將不能應用二叉樹期權定價模型進行期權定價。Black-Scholes模型則可以適用于股票和其他價格取決于標的資產的價格的所有衍生證券的定價，因此Black-Scholes模型的應用較為廣泛。

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（作者單位：南京財經大學）