運用數學思想 巧解函數問題

隨著課程改革不斷深入，對培養學生的能力要求越來越高，這是擺在我們教育工作者面前的一個重要課題.為此，教師在課堂教學中，應以學生為主體，以發展能力為核心，不斷滲透數學思想方法，培養新型人才.下面，結合筆者多年教學實踐經驗談一點粗淺看法.

一、運用數形結合 巧解函數問題

所謂數形結合就是代數問題與圖形之間的相互轉化，它可以使幾何問題代數化，代數問題幾何化.在函數教學中，我們要巧妙通過“以數解形，以形助數”，從而直觀發現解題途徑，有效拓寬學生的思維空間.

例如，在教學《二次函數》時，筆者設計這樣問題：求函數u=2t+4+6-t的最值.

教者引導學生進行探索分析，尋求解題方法.一般方法：由題意可知，等號右端根號內t同為t的一次式，因此作簡單換元2t+4=m，但很難轉化出二次函數求最值；如果對式子進行平方處理，將會把問題復雜化，因此，該題用常規方法求解，顯得力不從心，若我們退一步思考，考慮到式中有兩個根號，則采用兩步換元，轉化成

橢圓和直線圖形，問題就迎刃而解：

設x=2t+4，y=6-t，則u=x+y且x2+2y2=16(0≤x≤4，0≤y≤22)所給函數化為以u為參數的直線方程y=-x+u，它與橢圓x2+2y2=16在第一象限的部分（包括端點）有公共點，如右圖.

umin=22

相切于第一象限時，u取最大值

y=-x+u，x2+2y2=16



2x2-4ux+2u2-16=0，

令Δ=0，得u=±26，取u=26.

∴umin=26.

評注：數形結合思想是解答數學問題的一種常用方法與技巧，特別是在解決函數問題是發揮著奇特功效，在教學中要注重這方面的訓練.

二、運用分類討論巧解函數問題

所謂分類討論就是在解答某些數學問題時，有時會遇到多種情況，不能進行統一研究時，需要對研究的對象

加以分類，然后對每一類分別研究，給出每一類的結

果，最后綜合得出整個問題的解答.因此，在函數教學中，教師要充分利用教材，運用分類討論方法，巧解函數問題，不斷培養學生分類討論思想.

例如：設函數f(x)＝ax2－2x＋2，對于滿足10，求實數a的取值范圍.

思路分析：首先對含有參數二次函數在有界區間上的求極值，需要對開口方向討論，然后，再對其拋物線對稱軸的位置與閉區間的關系進行分類討論，最后得出解題方法.

解：當a>0時，f(x)＝a（x－1a）2＋2－1a，

∴1a≤1，f(1)=a-2+2≥0

或1＜1a＜4，f(1a)=2-1a＞0

或1a≥4，f(4)=16a-8+2≥0.

∴a≥1或12

即a>12；

當a<0時，f(1)=a-2+2≥0，f(4)=16a-8+2≥0，

解得；

當a＝0時，f(x)＝－2x＋2，f(1)＝0，f(4)＝－6，∴不合題意.

綜上所述，實數a的取值范圍是a>12.

評注：本案例分兩級討論，在以后教學中，要滲透分類原則，使學生掌握分類技巧.

三、運用轉化思想巧解函數問題

新課程改革要求，把學生培養成用數學思想去發現問題和解決問題作為核心內容之一.因此，我們在數學教學中，要滲透數學思想方法，尤其是在函數教學中，要強化學生運用轉化思想去發現問題和解決問題，不斷培養學生創新思維潛能.

例如：若對任意的ａ∈［-1，1］，函數f(x)=x2+(ａ-4)x+4-2ａ的值恒大于零，試求x的取值范圍.

引導學生分析：若按常規思維，將函數化為f(x)=x2+(ａ-4)x+4-2ａ=(x+a-42)2-a24，但由于受思維定勢的干擾，將函數看成關于x的函數，因此求法不得要領，從而使本題求解就此擱淺.若能進行變換角度，利用轉化思想，則求解思路就明顯了.經過同學們探索，得出下列解法.

法1：變換角度，將參數ａ分離，

(x-2)ａ+(x-2)2＞0對ａ∈［-1，1］恒成立.

（1）當x-2＞0即x＞2時，

∴ａ＞2-xx＞2-ａx＞3;

(2）當x-2=0即x=2時，不等式不成立;

(3）當x-2＜0即x＜2時，

∴ａ＜2-xx＜2-ａx＜1，

解之得x＞3或x＜1.

法2：變換角度，將函數看成關于ａ的函數.

令g(a)=(x-2)a+x2-4x+4，ａ∈［-1，1］，則有

g(-1)＞0且g(1)＞0，

x2-5x+6＞0且x2-3x+2＞0，

解之得x＞3或x＜1.

評注：本案例用常規方法很難求解，若退一步思考，運用轉化思想，變換角度思考問題，思路就清晰，因此，今后要加強這方面訓練，不斷培養技能.

四、運用方程思想巧解函數問題

所謂方程思想是把所研究數學問題中已知量與未知量，通過方程或方程組等轉化為數學模型，從而使問題得到解決的思維方法.在函數教學中，教師要引導學生仔細審題，把表面上看是非方程的問題，運用方程的思想，把它逐步轉化方程問題，使問題得到解決.

例如：在教學《三角函數》時，筆者設計下列問題：已知sina+3cosa=2，求

sina-cosasina+cosa

的值.

引導學生分組探索分析：先讓學生直接化簡，學生經過探索一段時間，沒有得出結論，感覺有困難，然后教者引導學生，再退一步思考，尋求其它解題途徑（對學習有困難的小組應適當提示：是否可以走方程的路子去尋求解題方法），由于學生精心地探究，不一會得出下列解題方法：

令sina-cosasina+cosa=x，

則(x-1)sina+(x+1)cosa=0. ①

又sina+3cosa=2， ②

由①、②解得sinα=x+12-x，cosα=x-1x-2

，∴(x+12-x)2+(x-1x-2)2=1，

即x2+4x-2=0，

解之得x=-2±6.

∴sinα-cosαsinα+cosα=-2±6.

評注：方程思想是一種重要思想，有好多數學內容只有在方程觀點下去認識，才能更深刻地去理解，不少靈活的數學問題只有借助方程思想去研究，才能另辟捷徑.

總之，在數學課堂教學中，運用數學新理念，不斷滲透數學思想方法，使學生逐步掌握數學思想方法，靈活解決數學問題，才能事半功倍.

(責任編輯 鄧國勛 特約編輯 韋克蘭）