軸對(duì)稱中的奇巧

探究軸對(duì)稱中的奇巧，可提高解題效率.例如：若點(diǎn)A(x0，y0)、A′(x′，y′)關(guān)于直線l：y=±x+b對(duì)稱，則點(diǎn)(x′，y0)與(x0，y′)的坐標(biāo)均滿足對(duì)稱軸的方程．軸對(duì)稱問(wèn)題是中學(xué)數(shù)學(xué)中的基本問(wèn)題，筆者發(fā)現(xiàn)當(dāng)對(duì)稱軸的斜率為1或－1時(shí)，相互對(duì)稱的兩點(diǎn)的坐標(biāo)之間有非常奇巧的結(jié)果，下面讓我們來(lái)探討一下．

問(wèn)題1．在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A(x0，y0)關(guān)于直線l：y=kx+b(k≠0)對(duì)稱的點(diǎn)A′的坐標(biāo)為 ．

問(wèn)題2．在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A(x0，y0)關(guān)于直線l：y=kx+b(k2=1)對(duì)稱的點(diǎn)A′的坐標(biāo)為 ．

問(wèn)題3．在平面直角坐標(biāo)系中，若點(diǎn)A(x0，y0)、A′(x′，y′)關(guān)于直線l：y=x+b對(duì)稱，則A、A′兩點(diǎn)的坐標(biāo)之間滿足的關(guān)系式為 ．

問(wèn)題4．在平面直角坐標(biāo)系中，若點(diǎn)A(x0，y0)、A′(x′，y′)關(guān)于直線l：y=－x+b對(duì)稱，則A、A′兩點(diǎn)的坐標(biāo)之間滿足的關(guān)系式為 ．

先看問(wèn)題1，設(shè)點(diǎn)A′的坐標(biāo)為(x′，y′)，則線段AA′的中點(diǎn)M的坐標(biāo)為(x0+x′2，x0+y′2)

，因?yàn)锳A′⊥l，且點(diǎn)M在直線l上，所以

y′-y0x′-x0=-1k，y0+y′2=k#8226;x0+x′2+b

x′=(1-k2)x0+2ky0-2kbk2+1，y′=2kx0+(k2-1)y0+2bk2+1，

此即為問(wèn)題1的答案．

在問(wèn)題1的答案中，令k2=1得問(wèn)題2的答案為x′=ky0-kb，y′=kx0+b

.

在問(wèn)題2的答案中，令k=1得問(wèn)題3的答案為x′=y0-b，y′=x0+b

.

即y0=x′+b，y′=x0+b.

在問(wèn)題2的答案中，令k=－1得問(wèn)題4的答案為x′=-y0+b，y′=-x0+b，

即y0=-x′+b，y′=-x0+b.

問(wèn)題3、4的答案具有非常好的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，就是“若點(diǎn)A(x0，y0)、A′(x′，y′)關(guān)于直線l：y=±x+b對(duì)稱，則點(diǎn)(x′，y0)與(x0，y′)的坐標(biāo)均滿足對(duì)稱軸的方程”，這一規(guī)律便于記憶，可極大地提高解題效率．下面舉一例說(shuō)明：

問(wèn)題5．已知直線l的方程為y=x+3，在l上任取一點(diǎn)P，若橢圓過(guò)點(diǎn)P，且以雙曲線12x2－4y2=3的焦點(diǎn)為焦點(diǎn)，則長(zhǎng)軸最短的橢圓方程為 ．

解析:由題得橢圓的焦點(diǎn)為F1(-1，0)與F2(1，0)，設(shè)F1關(guān)于y=x+3的對(duì)稱點(diǎn)為F1′(x′，y′)，則由問(wèn)題2的結(jié)論有，0=x′+3，y′=－1+3，故得x′=－3，y′=2，橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)2a=PF1+PF2=PF1′+PF2≥F1′F2=25，當(dāng)且僅當(dāng)P、F1′、F2三點(diǎn)共線時(shí)，橢圓的長(zhǎng)軸最短，此時(shí)橢圓方程為x25+y24=1．

參考文獻(xiàn)

李善良．學(xué)習(xí)與評(píng)價(jià)課課練數(shù)學(xué)(選修2-1)［M］．南京：江蘇教育出版社，2008．

(責(zé)任編輯 鄧國(guó)勛 特約編輯 楊文晴）