例談超幾何概率和伯努利概型的區別

在概率的計算中我們經常會遇到以下兩種類型的概率：

1．超幾何概率：在m+n個元素中，屬性A的元素有m個，屬性B的元素有n個，把全部元素混合后從中任意抽取k個元素（k≤m+n），求屬性A的元素恰有a（a≤m）個的概率，這種類型的概率稱為超幾何概率.公式為P（x=a)=CamCk-anCkm+n

.

2．伯努利概型：在一組固定不變的條件下，重復地做一種試驗n次，每次試驗的結果只有兩個：事件A發生或不發生，各次試驗之間不相互影響，在每次試驗中事件A發生的概率均為P，那么，這n次試驗稱為n次獨立重復試驗，在這n次獨立重復試驗中，事件A發生k次的概率稱為伯努利概型，其計算公式為：Pn（k）=CknPk#8226;(1-P)n-k，k=0，1，2，…，n.

由定義可以看出，這兩種概率的本質相去甚遠，本不該混淆，但在實際解題時，有一些題目的條件不是非常明顯，從而導致學生往往看不清問題的本質，不能準確地從題目中提煉出正確的概型而產生錯誤.下面就從一道易錯題談談這兩種概率的區別.

題目：甲、乙兩人參加一次測試，已知在備選的10題中，甲能答對5題，乙能答對7題，規定每次測試都從備選題中隨機地抽出3題進行測試，至少答對2題才算合格.

（1）求甲答對試題數x的概率分布列；

（2）求乙考試合格的概率；

（3）求甲、乙兩人至多一人合格的概率.

錯解：（1）據題意可知，甲答對的試題數x=0，1，2，3，

P（x=0）=C03(12)0(12)3=18

，

P（x=1）=C13(12)1(12)2=38，

P（x=2）=C23(12)2(12)1=38，

P（x=3）=C33(12)3(12)0=38.

所以，甲答對試題數x的概率分布列為：

x0123

p18383818

（2）設事件A={乙考試合格}，

則P（A）=C23(12)2(12)1+(12)3=12.

（3）設事件B={甲、乙兩人至多一人合格}，

則P（B）=1-P（B）=1-12（38+18）=34.

正解：（1）據題意知，甲答對的試題數x=0，1，2，3，

P（x=0）=C35C310=10120=112

，

P（x=1）=C15C25C310=510120=512，

P（x=2）=C25C15C310=510120=512，

P（x=3）=C35C310=10120=112.

所以，甲答對試題數x的概率分布列為：

x0123

P112512512112

（2）設事件A={乙考試合格}，

則P（A）=C27C13+C37C310=98120=4960

，

（3）設事件B={甲、乙兩人至多一人合格}，

則P（B）=1-P（B）=1-4960(512+112)=71120

.

錯誤原因剖析：（1）沒有理解題目中的條件的真正含義.10道題中甲能答對5題，應理解為：在10道題中有5題甲會做，而有5題不會做；同樣，乙能答對7道題應理解為：在10道題中有7題乙會做，而有3題不會做.

（2）忽視了伯努利概型應滿足的條件，即在每次實驗中某事件A發生的概率必須相等.對應到本題即是答對每題的概率應相等.而根據本題的條件，若對于甲會做的題目，他答對的概率應視為100％，對于他不會的題目，他答對的概率應為0，因此，甲答對每題的概率并不相等，不能視其為伯努利概型.

所以，本題對應于超幾何概率的定義，即10道題對于甲而言被分成了兩類：5題會和5題不會，現從中任意抽取3題，其中抽到會做的題數的概率問題.也就是超幾何概率問題.

下面再通過幾個例題來說明這兩種概率的區別.

【例1】 10件產品中有2件次品，現連續抽3次，每次抽1件.

（1）在放回抽樣的情況下，求抽到次品數x的概率分布列；

（2）在不放回抽樣的情況下，求抽到次品數y的概率分布列.

分析：（1）放回抽樣是在每次抽取后，記下抽到的產品的屬性，然后再放回去，這樣在每次抽取時，產品的總數并沒有改變，即每次抽取時的條件并沒有改變，并且上一次抽取的結果不會影響下一次的抽取結果，各次抽取時由于產品數未變，抽到的次品的概率也就沒有改變.因此，由伯努利概型的定義可知，這屬于伯努利概型.

（2）不放回抽樣時每次抽取后不放回，所以，第一次抽取時有10件產品，第二次抽取時只有9件產品，第三次抽取時有8件產品，…即每次試驗的條件是不同的，因此，就不能看成是伯努利概型.而應該理解為抽3次，由于不放回，所以最后共有3件產品被抽出，即最后手上會有3件產品，因此，可將其視為一次性地從中抽出了3件產品，從而應該屬于超幾何概率.

解：（1）據題意得，x=0，1，2，3，

在每次抽取時抽到次品的概率均為C12C110=15，

P（x=0）=C03(15)0(45)3=64125

，

P（x=1）=C13(15)1(45)2=48125

，

P（x=2）=C23(15)2(45)1=12125，

P（x=3）=C35(15)3(45)0=1125.

所以，抽到次品數x的分布列為：

x0123

P6412548125121251125

（2）由于是不放回抽取，所以抽到的次品數y=0，1，2，

P（y=0）=C02C38C310=715，

P（y=1）=C12C28C310=715，

P（y=2）=C22C18C310=115.

所以，抽到次品數y的分布列為：

x012

P715715115

【例2】 一次測驗出了5道是非題，做對得10分，做錯倒扣2分，某生這5題都不會做，做題時他隨機在“是”“非”中選了一個，以x表示該生的得分，求x的概率分布列.

分析：由本題的條件很容易看出，該生答對每題的概率均為12，而且各題答對與否都不相互影響.而他所得的分值直接取決于答對的題數，所以，本題的概率計算應該是伯努利概型.

解：據題意得，x=-10，2，14，26，38，50，

P（x=-10）=C05(12)0（12)5=132

，

P（x=2）=C15(12)1（12)4=532，

P（x=14）=C25(12)2（12)3=516，

P（x=26）=C35(12)3（12)2=516，

P（x=38）=C45(12)4（12)1=532，

P（x=50）=C55(12)5（12)0=132.

所以，x的概率分布列為

x-10214263850

P132532516516532132

【例3】 設在一大批產品中，合格品占90％，現從中任取5件，求其中有2件合格品的概率.

分析：本題乍一看好像是超幾何概率，但仔細分析可以發現，若是超幾何概率則必須已知產品的總數，而本題只說是一大批產品，并不知共有多少件產品，所以無法用超幾何概率進行計算.事實上，這里是一大批產品，說明產品總數很多而抽取的產品數卻很少，因此，抽出的產品對產品總數的影響較小，因此，在這一大批產品中無放回地任取5件，可以近似地看成有放回地任取5件，即抽出5件產品可看作是做了5次獨立重復的試驗，從而本題應用伯努利概型來計算.

解：設事件A={5件中有2件合格品}，

則P（A）=P5（2）=C25(0.9)2（0.3）３=0.0081.

綜合以上例子可以發現，要看一個概型是不是伯努利概型，一要看題目是否在重復做同一個試驗；二要看每次試驗的條件是否相同以及每次試驗是否是相互獨立的；三要看每次試驗中某事件A發生的概率是否相同，只有滿足了這些條件才是伯努利概型，否則就不能用伯努利概型的概率計算公式.對于取產品（或取球等）問題，一定要看清是有放回還是無放回.特別地，遇到從一大批取產品問題我們可以看作是伯努利概型.

(責任編輯 鄧國勛 特約編輯 楊文晴）