在解題教學中突出數學思想

近幾年來，在中考數學試卷中，十分重視數學思想方法的考查，無論是主觀題還是客觀題，要正確與迅速的解答，都離不開數學思想方法的靈活與綜合應用.

在初中數學解題中應突出哪些數學思想呢？我利用近年來的平時數學解題和一些省市中考題型中作了如下一些嘗試，收到了明顯的效果.具體如下.

一、數形結合思想

著名的數學家華羅庚曾說過：“數缺形時少直觀，形少數時難入微.”它可以使代數問題幾何化，幾何問題代數化.函數是數形結合的很好的例子，一元一次不等式與一次函數關系體現了數形結合的思想，既可運用函數圖象解不等式，也可運用解不等式幫助研究函數問題.

圖1

【例1】 一次函數y=kx+b(k、b為常數k≠0)的圖象，如圖1所示，則不等式kx+b＞0的解集是（）.

A.x＞2 B.x＞0

C.x＜-2D.x＜0

分析：從一次函數y=kx+b的圖像中，我們能看出函數圖像在

x軸上方時，函數值大于0，此時x的取值范圍是x＞2，即不等式kx+b＞0的解集是x＞-2，那么答案就容易理解了.

二、分類討論思想

無論是代數還是幾何都要用到分類的思想，如代數中把實數分成有理數和無理數兩大類.幾何中把三角形、四邊形按邊進行分類等.

三、轉化的思想

轉化思想即把有待解決問題，通過適當的方法，轉化為已知解決或已經知道其解決方法的問題.初中數學中處處都體現轉化思想，例如從未知轉化為已知、消元、換元、配方等都體現了轉化思想.

【例2】 某平行四邊形的邊長為12，其對角線分別為x、y(y＞x)，則x與y的值可能是（）.

A.8和4B.10和4C.10和34D.18和20

分析：要確立兩條對角線的長，題目只給出了一條邊的長，需要找對角線與已知邊的關系，即要把平行四邊形轉化為三角形求解.我們知道兩條對角線的一半和已知邊構成一個三角形，通過三角形三邊的關系，可得到對角線和已知邊的關系，從而確定x與y的值.由題知y2-x2＜12

且y2+x2＜12，將所給出四個選項中的數值分別代入，滿足不等式的答案只有D.

四、方程的思想

方程是初中代數最主要的內容之一，通過一次方程（組）及一元二次方程等章節的學習，學生基本掌握了方程的有關知識和解題方法，但不能說他們把握了方程的思想.

【例3】 如果x1，x2是兩個不相等的實數，且滿足x21-2x1=1，x22-2x2=1，那么x1#8226;x2等于（）.

A.2 B.-2 C.1 D.-1

分析：這是一道某市中考題的最后一道選擇題，滿分為4分，可見難度較大.我把它放給08屆初中畢業生練習，大部分學生一時半刻弄不懂它的實質：x1，x2是方程x2-2x-1=0的兩根.雖然知道了如果某實數是方程的根，那么它必須滿足此方程.這道題反過來，知道了這兩個結構相同的等式，但學生就是不敢斷言，x1，x2是方程x2-2x-1=0的兩根，事實上，方程就是變元的等式，這也就是學生對方程的本質沒有真正掌握，不能用方程的思想這個鋒芒去穿透知識和解題之間的這個薄膜.

五、整體的思想

初中數學解題中，有很多題型都應用到整體思想去解決，這樣使問題變為簡單.否則，有時解題會變得復雜，甚至無法解決.

圖2

【例4】 如圖2，ABCD中，AE⊥BC于點E，AF⊥CD于點F.∠EAF=45°，且AE+AF=22，求ABCD的周長.

分析：像這樣的題應考慮整體的思想去解題.根據已知條件及四邊形內角和可得∠ECF=135°，得出△ABE和△ADF是等腰直角三角形，兩邊(AB和AD)與已知的兩條高的關系：AB=2AE，AD=2AF，可確定兩鄰邊的和即AB+AD=2(AE+AF)

=2×22=4，從而求出平行四邊形的周長.

六、特殊值思想

若給定字母沒有條件限制，說明字母取某些特殊的值時，關于該字母的有關式子變化情況可代表一般情況，這時可用字母以特殊值的結果代表字母在一般情況下的結果.這種解題方法叫做特殊值法，這種方法多用于選擇題.

【例5】 對于數a，下列式子一定成立的是（）.

A.4a＞a4 B.a2＞0C.a+2＜a-2D.2-a＜2+a

分析：由于a的取值范圍沒有給定，故可采用特殊值法思想確定答案，令a=0代入上述各個選項中進行檢驗即可.

參考文獻

［1］胡炯濤.數學教學論［M］.南寧：廣西教育出版社，1996.

［2］鄭君文，張恩華.數學學習論［M］.南寧：廣西教育出版社，2007.

(責任編輯 鄧國勛 特約編輯 楊文晴）