一類直線與圓錐曲線相關(guān)問題的處理方法

圓錐曲線與直線相交及其相關(guān)問題是解析幾何中非常典型、非常重要的問題，本文擬從曲線系的角度給出一種處理這類問題的方法.

在一個(gè)關(guān)于x，y的二元方程中，如果它含有一個(gè)不定的常數(shù)，給這個(gè)常數(shù)一些不同的值，可以得到一系列具有某種共同性質(zhì)的曲線（包括直線），它們的全體組成的集合叫做具有某種共同性質(zhì)曲線系.

設(shè)二次曲線C：ax2+bxy+cy2+dx+ey+f=0與直線l1：m1x+n1y+p1=0，l2：m2x+n2y+p2=0都有公共點(diǎn)，則過這些公共點(diǎn)的二次曲線系方程為：

λ(ax2+bxy+cy2+dx+ey+f)+μ(m1x+n1y+p1)(m2x+n2y+p2)=0，這里λ，μ為不全為0的實(shí)數(shù).

結(jié)合二次曲線表示圓的充要條件，我們可以得到下面結(jié)論：

命題1：設(shè)橢圓mx2+ny2=1與直線ax+by+c=0有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，則過這兩點(diǎn)的圓系方程為mx2+ny2-1+n-ma2+b2(ax+by+c)(ax-by+λ)=0，λ為任意實(shí)數(shù).

命題2：設(shè)雙曲線mx2-ny2=1與直線ax+by+c=0有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，則過這兩點(diǎn)的圓系方程為mx2-ny2-1-n-ma2+b2+(ax+by+c)(ax-by+λ)=0，λ為任意實(shí)數(shù).

命題3：設(shè)拋物線y2=2px與直線ax+by+c=0有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，則過這兩點(diǎn)的圓系方程為y2-2px+1a2+b2(ax+by+c)(ax-by+λ)=0，λ為任意實(shí)數(shù).

上述三個(gè)命題在處理圓錐曲線與直線相交的諸多方面都有很方便的應(yīng)用，以下將列舉這三個(gè)命題的應(yīng)用.

一、求過直線與圓錐曲線交點(diǎn)的圓

【例1】 已知點(diǎn)A(1，1)，過點(diǎn)B(5，-2)及點(diǎn)C(0，3)的直線與曲線y2=4x交于B，C兩點(diǎn)，求過A，B，C三點(diǎn)的圓的方程.

解：過點(diǎn)B(5，-2)及點(diǎn)C(0，3)的直線方程為x+y-3=0，由命題3知過B，C的圓系方程為y2-4x+12(x+y-3)(x-y+λ)=0，將x=1，y=1代入圓系方程中，解得λ=-6，所以過A，B，C三點(diǎn)的圓方程為：x2+y2-17x-3y+18=0.

二、求直線與圓錐曲線的相交弦長(zhǎng)

【例2】 雙曲線x2-3y2=1與直線x+y-1=0交于B，C兩點(diǎn)，求弦BC的長(zhǎng)度.

分析：如果過雙曲線x2-3y2=1與直線x+y-1=0交點(diǎn)B，C的圓系的圓心在直線x+y-1=0上，則圓的方程可以確定，而BC就是圓的直徑.

解：由命題2知過B，C兩點(diǎn)的圓系方程為：x2-3y2-1-2(x+y-1)(x-y+λ)=0，即x2+y2+2(λ-1)x+2(λ+1)y+1-2λ=0，由圓心(1-λ，-λ-1)在直線x+y-1=0上，解得λ=-12.從而以BC為直徑的圓方程為：(x-32)2+(y+12)2=12，此圓的直徑長(zhǎng)度等于2，所以弦BC的長(zhǎng)度為2.

三、求直線與圓錐曲線相交時(shí)直線的斜率

【例3】 直線l∶y=kx+1與雙曲線C:2x2-y2=1的右支交于不同的兩點(diǎn)A、B.

請(qǐng)問是否存在實(shí)數(shù)k，使得以線段AB為直徑的圓經(jīng)過雙曲線C的右焦點(diǎn)F？若存

在，求出k的值；若不存在，說明理由.(2004年湖北省高考試題)

解：將y=kx+1代入2x2-y2=1中并化簡(jiǎn)整理得(2-k2)x2-2kx-2=0，由已

知得此方程有兩個(gè)不小于22的實(shí)根，解得-2

由命題2知過A，B兩點(diǎn)的圓系方程為2x2-y2-1+m(kx-y+1)(kx+y+λ)=0，

m(1+k2)=-3，由于AB是圓的直徑，故圓心在直線l上，

即k#8226;-mkλ-mk2(2+mk2)-mλ-m2(2+mk2)+1=0

，解得λ=-13，

若此圓過右焦點(diǎn)(62，0)，將x=62，y=0代入圓系方程中解得k=-6±65，

經(jīng)檢驗(yàn)，-2＜-6-65＜-2，-6+65>-2，從而存在以線段AB為直徑的圓經(jīng)過雙曲線C的右焦點(diǎn)F，此時(shí)直線AB的斜率為-6-65.

四、求曲線的方程

【例4】 已知橢圓中心在原點(diǎn)O，焦點(diǎn)在坐標(biāo)軸上，直線x-y+1=0與此橢圓相交于P，Q兩點(diǎn)，若|PQ|=102，OP⊥OQ，求橢圓方程.

分析：設(shè)橢圓方程為mx2+ny2=1，則過P、Q兩點(diǎn)的圓系方程可表示為

mx2+ny2-1+n-m2(x-y+1)(x+y+c)=0，由于OP⊥OQ，故一方面PQ為圓的直徑，從而圓心在直線x-y+1=0上，另一方面圓過原點(diǎn)，由此建立關(guān)于m，n的方程.

五、證明圓錐曲線與直線相交的相關(guān)問題

【例5】 已知P，Q是拋物線y2=2px(p>0)上異于原點(diǎn)的兩點(diǎn)，且滿足OP⊥OQ(O是拋物線頂點(diǎn)).求證：直線PQ與x軸的交點(diǎn)是一個(gè)定點(diǎn).

分析：設(shè)過P，Q的直線方程為ax+by+c=0，關(guān)鍵是確定a，c間的關(guān)系.

解：設(shè)過P，Q的直線方程為ax+by+c=0，則c≠0，由命題3知過P，Q的圓系方程為y2-2px+m(ax+by+c)(ax-by+λ)=0，m(a2+b2)=1，

則λ=0；a#8226;-mac+2p2ma2+b#8226;mbc2ma2+c=0

，解得-2pa=c.

在直線方程為ax+by+c=0中，當(dāng)y=0時(shí)，x=-ca=2p，即直線PQ與x軸的交點(diǎn)是定點(diǎn)(2p，0).

【例6】 設(shè)A，B是橢圓3x2+y2=λ上的兩點(diǎn)，點(diǎn)N(1，3)是線段AB的中點(diǎn)，線段AB

的垂直平分線與橢圓相交于C，D兩點(diǎn).(1)確定λ的取值范圍，并求直線AB的方程；

(2)試判斷是否存在這樣的λ，使得A，B，C，D四點(diǎn)在同一個(gè)圓上?并說明理由.(2005

年湖北省高考試題)

解：(1)設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則3x21+y21=λ，3x22+y22=λ，兩式相減得：

3(x1+x2)(x1-x2)+(y1+y2)(y1-y2)=0，若AB滿足條件，設(shè)

直線AB的斜率k，則k=y1-y2x1-x2=-3(x1+x2)y1-y2=-1

，所以直線AB的方程為：x+y-4=0，將y=4-x代入3x2+y2=λ中化簡(jiǎn)并整理得4x2-8x+16-λ=0，由Δ=64-16(16-λ)>0解得λ>12，所以當(dāng)λ>12時(shí)，直線AB的方程為：x+y-4=0.

(2)由已知易得λ>12時(shí)，直線CD的方程為：x-y+2=0，則過C，D兩點(diǎn)的

圓系方程為：3x2+y2-λ-(x-y+2)(x+y+μ)=0，

依題意圓心在直線CD上，從而μ+24-2-μ4+2=0

，解得：μ=-4，從而3x2+y2-μ-(x-y+2)(x+y+μ)=0可化為(x+12)2+(y-32)2=2λ-64

，所以當(dāng)λ>12時(shí)，一方面方程3x2+y2-λ-(x-y+2)(x+y-4)=0表示圓，另一方面易知：直線x+y-4=0、直線x-y+2=0與橢圓的交點(diǎn)A，B，C，D的坐標(biāo)都滿足(x+12)2+(y-32)2=2λ-64

，即當(dāng)λ>12時(shí)，存在圓(x+12)2+(y-32)2=2λ-64

過A，B，C，D四點(diǎn).

【例7】 已知橢圓x29+y24=1

上存在關(guān)于直線l：y=2x+m對(duì)稱的兩點(diǎn)，求實(shí)數(shù)m的取值范圍.

解：設(shè)P，Q是橢圓x29+y24=1關(guān)于直線l：y=2x+m對(duì)稱的兩點(diǎn)，則可設(shè)直線PQ的方程為2y+x+b=0，于是直線PQ與橢圓x29+y24=1交點(diǎn)的圓系方程為

4x2+9y2-36-(2y+x+b)(2y-x+a)=0，即5x2+5y2-(a-b)x-2(a+b)y-ab-36=0，

由于圓心(a-b10，a+b5

)既在直線2y+x+b=0上，又在直線y=2x+m上，從而

2(a+b)5+a-b10+b=0，a+b5=2(a-b)10+m

，解得b=5m2，a=-13m2，

從而圓心為(-9m10，-4m5)，而圓心在橢圓x29+y24=1內(nèi)部，故

19(-9m10)2+14(-4m5)2＜1

，解得-2

即實(shí)數(shù)m的取值范圍是{m∣-2

最后必須說明，盡管此方法可以處理直線與圓錐曲線相交相關(guān)問題(包括求交點(diǎn))，但應(yīng)用時(shí)不可膠柱鼓瑟.

(責(zé)任編輯 鄧國(guó)勛 特約編輯 楊文晴）