構造法在解題中的應用

在數學解題過程中，對已有知識和方法采取分解、組合、變換、類比、限定、推廣等手段進行思維的再創造，構造新的式子或圖形來幫助解題的方法稱之為構造法.

構造法作為一種數學方法，屬于非常規思維，帶有試探性、不規則性和創造性.構造法解題過程的模式可用下列框圖表示：

下面通過具體的例子從八個方面來闡述構造法在數學解題過程中的應用.

一、構造遞推關系式法

構造遞推關系式的步驟是：（1）根據題意設出f(n)；（2）利用已知條件、公式、定理、運算法則等尋求出遞推關系式.（其實，根據遞推關系式和函數方程之間的關系，構造一個遞推關系式）實際上就是在布列一個函數方程.

【例1】 設x1，x2是方程x2+3x+1=0的兩根，試求x71+x72的值.

分析：令F(n)=xn1+xn2（n∈N），由x1+x2=-3，x1#8226;x2=1.

易知F(1)=-3，F(2)=7，

F(n+2)=xn+21+xn+22=(x1+x2)(xn+11+xn+12)-x1#8226;x2(xn1+xn2)

=-3F(n+1)-F(n).

這就是遞推式，往復迭代，就可算出任意F(n)的值.這里，F(1)=-3，F(2)=7，F(3)=-18，F(4)=47，F(5)=-123，F(6)=322，F(7)=-843即x71+x72=-843.

二、構造向量法

對于某些函數的最值可通過構造向量來解，例形如y=sinθ+dcosθ+c(｜c｜＞1)

的最值可通過構造向量a=(y，-1)，b=(cosθ，sinθ)

來求；求函數f(x)=mc-x+nx+d（其中m＞0，n＞0）的最大值，可通過構造向量a=(m，n)，b=(c-x，x+d)來求；求函數f(x)=(x+m)2+n2+(x+c)2+d2

（其中nd＜0）的最小值，可通過構造向量a=(x+m，n)，b(x+c，d)來求.

【例2】 求函數f(x)=21-x+2x+1

的最大值.

解：構造向量a=(2，2)，b=(1-x)，x+1，

于是f(x)=a#8226;b≤｜a｜｜b｜=8

#8226;2=4，

當且僅當a=λb(λ＞0)，即2=λ1-x，2=λx+1

，

亦即x=0（此時λ=2）時，等號成立.故當x=0時，f(x)取得最大值4.

三、構造圖形法

數和形是一對孿生兄弟，許多問題直接從“數”（符號或關系）本身去求解，往往難抓住問題的本質.但若能從形的角度入手，構造一個直觀圖來描述和刻畫這些關系與條件，構圖啟思，則錯綜復雜的關系往往清晰可辨，解題思路茅塞頓開.下面舉例說明如何將“數轉化為形”，以形促數實現解題的目的.

【例3】 已知x、y滿足2x2+3y2=4x，求x2+y2的最大值.

分析：實數x、y滿足的關系式2x2+3y2=4x可變形為(x-1)2+3y22=1這是一個橢圓方程，也就是滿足給定條件的實數對(x，y)對應的點在這一橢圓上.令x2+y2=M，于是求x2+y2的最大值問題就轉化為在橢圓上求與坐標原點距離最遠的點.

解：作出橢圓如右圖所示，橢圓的長軸OA的長為2.由于長軸上的兩端點是橢圓上相距最遠的兩點，故M的最大值為2，因此，所求x2+y2的最大值為4.

四、構造函數法

由題設條件及數量關系，構想、組合成一種新的函數關系，使問題在新的關系下實現轉化，通過函數的研究使問題獲得解決的方法稱之為構造函數法.構造輔助函數解題是數學上的重要方法，往往起到化難為易，化繁為簡的作用.

【例4】 解方程(6x+5)#8226;［1+(6x+5)2+4］+x#8226;(1+x2+4)=0.

解：由方程的特點可構造函數f(t)=t(1+t2+4).

∵f(-t)=-t(1+t2+4)=-f(t)，∴f(t)

為奇函數.

由原方程可知：(6x+5)#8226;［1+(6x+5)2+4］=-x#8226;(1+x2+4)

，

即f(6x+5)=f(-x)又顯然f(t)為單調遞增的函數，

所以6x+5=-x，解之得.

五、構造數列法

構造數列，利用數列的單調性證明含有自然數n的不等式A(n)≥B(n)，很有實用價值.在證題時，可先構造一個數列｛G(n)｝，使G(n)=A(n)-B(n)或G(n)=A(n)B(n)

，然后證明數列{G(n)}是單調遞增（遞減）的，最后利用單調性得出要證的不等式.此法尤其適用于A(n)或B(n)是各項之和或各項之積的形式；對于某些恒等式或整除性問題的證明也常用此法.

【例5】 設an=12+23+…+n#8226;(n+1)(n∈N)

.

求證：n(n+1)2＜an＜(n+1)22.

證明：構造數列bn=an-(n+1)22，

因為bn+1-bn=(an+1-an)-［(n+2)22-(n+1)22］

=(n+1)(n+2)-2n+32=-(n+1-n+2)22＜0

，

所以bn+1＜bn，｛bn｝是遞減數列，第一項b1=2-2為最大項，

所以bn≤b1=2-2＜0，故有an＜(n+1)22

，

同理可證n(n+1)2＜an

，故n(n+1)2＜an＜(n+1)22

得證.

【例6】 求證：12+22+…+n2=16n(n+1)(2n+1)

（高三選修課本P64例2）.

證明：構造數列an=12+22…+n2-16n(n+1)(2n+1)

，n∈N，

則問題轉化為證an=0(n∈N).（1）a1=12-16×1×2×3=0.

（2）假設ak=0，則

ak+1=ak+1-ak=(k+1)2-16(k+1)(k+2)(2k+3)+16k(k+1)(2k+1)

=(k+1)2-16(k+1)(2k2+7k+6-2k2-k)=(k+1)2-16(k+1)(6k+6)=0.

綜上（1）、（2）可知，原式對一切n∈N都成立.

六、構造方程法

此法的基本思想是根據已知條件，構造出與結論有關的輔助方程，把原問題轉化為對輔助方程及其性質（主要的還是求根，找判別式，找根與系數的關系）的研究，從而解決原問題，這是方程應用的一種推廣，它的特點在于夠思巧妙，運算簡單.

【例7】 在△ABC中求證：cos2A+cos2B+cos2c+2cosAcosBcosc=1

.

證明：構造方程x2+2xcosBcosC+cos2B+cos2C-1=0.

①

因為Δ=4cos2Bcos2C-4(cos2B+cos2C-1)=4(-cos2B)(1-cos2C)

=4sin2Bsin2C，

所以方程①的根為x=-cosBcosC±sinBsinC=-cos(B±C).

取其中一個根x=-cos(B+C)=cosA代入方程①中即得：

cos2A+cos2B+cos2C+2cosAcosBcos2C=1.

【例8】 已知x2+2x-6=0，y2+2y-6=0，求1x+1y的值.

解：（1）當x=y時，由x2+2x-6=0有6(1x)-2(1x)-1=0

，

所以1x=1+76

，則1x+1y=2x=2(1±7)6.

（2）當x≠y時，由已知條件的結構形式構造輔助方程t2+2t-6=0，那么x、y就是該輔助方程t2+2t-6=0的兩個根，由韋達定理可得：

x+y=-2，xy=-6，因此1x+1y=x+yxy=-2-6=13

.

七、構造等價命題法

對于有些命題的表達形式較為抽象復雜，直接論證顯得困難時，可通過構造一個表達形式比較通俗明朗且與原命題等價的新命題、輔助命題或引理，將原命題問題通過轉化為新命題來處理，可以達到很好的效果.

【例9】 設a、b是兩個實數，A={(x，y)｜x=n，y=na+b，b∈Z}

，

B={(x，y)｜x=m，y=3m2+15，m∈Z}

，C={(x，y)｜x2+y2≤144}是坐標平面內的點集，討論是否存在實數a和b使得（1）A∩B≠（表示空集）；

（2）(a，b)∈C同時成立.

分析：由A∩B≠可知存在整數n，使得na+b=3m2+15；由(a，b)∈C則a2+b2≤144.于是原命題等價于命題：討論關于a、b的混合組

na+b=3m2=15，a2+b2≤144

（n∈Z）是否有實數解.

故不存在實數a、b使得（1）、（2）同時成立.

由上可見，用構造法解題沒有一種固定模式，只能審時度勢，針對問題的結構特點，展開類比、聯想、靈活地遷移知識，改變分析角度，最后捕捉理想的輔助工具.所以在平時的教學中要加強這方面的教學，既能拓寬學生的解題思路，又利于學生創造性思維能力的培養.

(責任編輯 鄧國勛 特約編輯 楊文晴）