例談三角函數中的范圍問題

三角函數是基本初等函數，它是描述周期現象的重要數學模型，在數學和其他領域中具有重要的作用，同時它也是高考的必考內容，考查難度不大，把能得到的分都得到，是廣大考生一直追求的境界，但往往事與愿違。我從實際教學中發現，三角函數中的很多題目都是在“范圍”方面出錯，教師應該在教學中引起重視。下面我就幾個例子來具體談一下三角函數中的范圍問題。

一、數形結合，巧求范圍

例1.求函數y=的定義域。

解法一:由題意知需2sinx+1≥0，即需sinx≥-。如圖1，由正弦曲線知，在一個周期上[-，]，符合條件的角的范圍為[-，]。根據正弦函數的周期性，可知函數的定義域為[2kπ-，2kπ+]，k∈Z。

解法二:如圖2，由三角函數線可看出，滿足sinx=-的角可以是-、，而滿足sinx≥-的角的終邊必須在-、的終邊的上方，再結合正弦函數的周期性可知，所求的定義域為[2kπ-，2kπ+]，k∈Z。

例2.已知f(x)是定義在(-3，3)上的奇函數，當0

解:由f(x)是定義在(-3，3)上的奇函數，可知f(x)的圖像關于原點呈中心對稱，把圖像補全，再結合y=cosx的圖像可知所求解集為(-，-1)∪(0，1)∪(，3)。

評析:例1可用兩種方法從“形”的角度來解決問題，第一種方法是根據正弦曲線的圖像特征，先找出在一個周期內的符合條件的角的范圍，再根據周期性得到結論;第二種方法是利用三角函數線來找出角的范圍。熟練掌握函數圖像、三角函數線的畫法和合理選擇一個周期是解決問題的關鍵。例2的難點在于如何根據奇偶性把圖像補全，如何把f(x)的圖像和y=cosx的圖像有機地結合起來。中學數學研究的對象可分為數和形兩大部分，數與形是有聯系的，這個聯系稱之為數形結合，或形數結合。作為一種數學思想方法，數形結合是高中數學中常用的重要的解題思想方法之一，它的特點是直觀、形象、解題快捷，合理利用數形結合，對解題往往可以起到事半功倍的效果。

二、縮小范圍，正確解題

例3.已知tan(α-β)=，tanβ=-，且α、β∈(0，π)，求2α-β的值。

解:由兩角和差的正切公式可求tanα=tan[(α-β)+β]==，tan(2α-β)=tan[(α-β)+α]==1，

因為α、β∈(0，π)，且tanα<1，tanβ<0，

所以α∈(0，)、β∈(，π)，(2α-β)∈(-π，0)。

因為在(-π，0)上滿足正切值等于1的角只有-，

所以2α-β=-。

例4.在三角形ABC中，cosA=，sinB=，則cosC的值為

解:分∠B為鈍角和銳角兩種情況討論:

(1)若B為銳角，則sinA=，cosB=，所以cosC=

-cos(A+B)=-;

(2)若B為鈍角，因為sinB=<，所以∠B>，又0

所以∠A>，從而∠A+∠B>π，不可能。

綜上所述，cosC的值只能為-。

評析:由于三角函數是周期函數，即自變量與三角函數值是多對一的對應關系，所以，解三角問題時要特別注意確定角的實際變化范圍，盡可能地縮小角的范圍，否則會出現增解。在教學中，這兩道題的錯誤率都很高，均涉及到范圍的縮小問題，如例3中學生在求出tan(2α-β)=1后，往往沒有注意到根據已有信息縮小范圍，而是直接由題中所給范圍得出(2α-β)∈(-π，2π)，所以2α-β的值有三個，即、-、，從而出現增根。而例4難度則更大，更容易被學生所忽視，很多學生直接分∠B為銳角和鈍角來解題，有一部分學生可能懷疑鈍角的情形，卻不會正確縮小范圍，最終還是求出的兩個結果，導致錯誤發生。

三、隱含條件，不容忽視

例5.設cosθ+sinθ=m，則使sinθ+cosθ>0的m的范圍是

解:對sinθ+cosθ=m兩邊平方易得sinθcosθ=，

由立方和公式得sinθ+cosθ

=(sinθ+cosθ)(sinθ-sinθcosθ+cosθ)

=m(1-)=

所以m(m-3)<0，從而m<-或0

另外，m=sinθ+cosθ=sin(θ+)，所以-≤m≤……②

由①②得m的范圍是(0，]。

評析:本題的解題關鍵是要把握住三點:一是正確對sinθ+cosθ進行因式分解;二是正確解不等式m(m-3)<0;三是由m=sinθ+cosθ=sin(θ+)得出-≤m≤。解決這三點以后，只需要找出所得兩個范圍的公共部分即可，而其中的第三點是絕大部分學生容易忽視的隱含條件，也是本題錯誤的根源。隱含條件是一種在題目中含而不露的條件，它的隱蔽性往往給同學們造成條件不足的假象或者考慮不全面，導致解題困難或者思維不嚴謹。但如果我們能仔細分析、推敲，就可以將其挖掘出來。特別是在審題過程中，若能及時發現和運用隱含條件，不僅可以迅速找到解題的突破口，而且能使解題過程簡單、明了。