克服數學概念教學抽象性的幾點淺見

數學概念是反映一類事物在數量關系和空間形式方面本質屬性的思維形式。它是排除一類對象的具體物質內容以后的抽象，這種抽象性是數學概念內在的、本質的屬性。有些概念是從生產、生活實際問題中抽象出來的，有些是由于數學自身的發展而產生，而有些數學概念源于生活實際，但又依賴已有的數學概念而產生。

數學概念的教學一般來說要經歷概念的形成、概念的表述、概念的辨析、概念的應用(包括概念所涉及的數學思想方法的運用)等階段，而學生對抽象性東西的理解、掌握卻是最困難的，特別是職高生，他們的思維能力較弱，認知水平較低。所以，職高數學概念教學中的一個重要內容，就是要想方設法創設數學概念形成的問題情景，克服概念的抽象性。

根據數學概念產生的方式，結合學生的認知特點，我們可以用下列幾種方法來創設數學概念形成的問題情景。

一、從學生的認知水平出發，創設聯系實際的問題情景

因為數學概念的產生、發展有各自不同的途徑，有的是直接從現實生活的模型中抽象出來的，所以，數學概念教學要根據學生的認知水平，盡可能地模擬客觀實際情況，讓學生能從熟悉的生活、生產和其它活動的實際問題中，經歷由感性到理性、由實踐到認識的過程，然后形成準確、完整的概念。因此，教師提供給學生所學概念的直觀背景材料，顯然應該是學生熟悉的，且是能從中親身體驗思維加工過程的。

如在“角的概念的推廣”教學中，“推廣”的主要內容是:從原有的0°—360°的角，推廣到正、負任意大、小的角。重點的、也是首先的，是解決正、負角問題。這一概念，可看成是原有0°—360°角內部衍生出來的，但更多的成分可看成是實際現實模型中抽象出來的，因為現實生活中普遍存在兩種方向相反的角。因此，本概念教學的設計重心是:著力選擇生活模型抽象出正、負角。

選擇什么模型呢?進入我思考范圍的有:A例:時鐘的指針形成的角。B例:用扳手對螺帽擰緊、擰松形成的角。C例:醫院B超顯示屏上扇形面上掃描線，左轉與右轉運動形成的角，等等。C例符合概念模型，但不為大多數學生所熟悉，非但不能較好地為概念教學服務，而且要增加B超掃描屏幕的解釋，影響教學進程，不取為好。A例雖然能演示相反方向的角，但缺乏現實生活意義，不足以說明正、負角引進的必要性，也不可取。B例事例簡單、鮮明、突出、有真實感，在擰緊、擰松中，學生易感知兩種相反方向角的形成，是一個好例子。

這里，學生的學習基礎是正、負數引進中的原有認識:用正、負區分具有相反意義的兩個量，即對正、負數產生的認識。學生在感知扳手對螺帽的擰緊、擰松過程中，能較好地認識到現實生活中是有兩種不同方向的角，并且原有的記述方法已經不能區分出這兩種角。在此基礎上，我設計以下問題進行教學:

1.怎樣區分這兩種不同方向的角呢?

2.你遇到過類似的兩種相反意義的量的問題嗎?

3.它是如何解決的呢?能用它的方法解決本問題嗎?

如此，順利地進行角的概念的推廣教學。

二、回顧已有概念的擴展過程，創設再擴展概念的問題情景

有些數學概念是已有概念的擴展，若能揭示已有概念的擴展規律，便可以水到渠成的引入新概念。

如復數概念的教學，先回顧已經歷過的幾次數集擴展的事實:引進負數數集擴展到有理數，引進無理數數集擴展到實數。后提出問題:

1.這些數集擴展的原因及其規律如何?(實際問題的需要使得在已有的數集內有些運算無法進行)

數集的擴展過程體現了如下規律:

(1)每次擴展都增加規定了新的元素;

(2)在原數集內成立的運算規律，在新數集內仍然成立;

(3)每次擴展后的新數集里能解決原數集不能解決的問題。

有了上述準備后，教師提出問題:負數不能開平方的事實說明實數集不夠完善，因而提出將實數集擴充為一個更為完整的數集的必要性。那么，怎樣解決這個問題呢?

2.借鑒上述規律，為了擴充實數集，引入新元素i，并作相關的規定，這樣學生對i的引入就不會感到疑惑，對復數集概念的建立也不會覺得突然，使思維很自然地步入知識發生和形成的軌道中，順利地進行算數概念的擴展，同時為概念的理解和進一步研究奠定基礎。

三、引導新、舊概念對比，創設概念間遷移的問題情景

學生感知和理解事物的一般方式是由學生的已有認知結構來決定的。新的概念不是被同化到現有認知結構中，就是改造這個現有認知結構以接納新概念。所以，在概念教學中，教師要充分調動學生的原有認知結構。許多數學概念間存在著一定的聯系，教師若能將新舊概念間的聯系點設計成問題情景，引導學生將新的概念轉化為已有認知結構中的相關概念，建立起新舊概念間的聯系，便可以使學生牢固地掌握新的概念。

四、通過具體實驗，創設概念直觀化模型的問題情景

有些數學概念可以通過引導學生從自己的親自實驗或通過現代教育技術手段演示與自己操作(幾何畫板提供了很好的軟件)中領悟數學概念的形成。

如橢圓概念的教學，可分幾個步驟進行:1.從實驗中獲得感性認識。要求學生用事先準備的兩個小圖釘和一根長度為定長的細線，將細線的兩端固定，細線的長大于兩定點之間的距離，用鉛筆把細線拉緊，使筆尖在紙上慢慢移動，所得圖形為橢圓。2.提出問題，思考討論:(1)橢圓上的點有何特征?(2)當細線的長等于兩定點之間的距離時，其軌跡是什么?(3)當細線的長小于兩定點之間的距離時，其軌跡是什么?(4)你能給橢圓下一個定義嗎?3.揭示本質，給出定義。像這樣，學生經歷了實驗、討論后，對橢圓的定義的實質會掌握得很好，不會出現忽略橢圓定義中的定長應大于兩定點之間的距離的錯誤。