轉(zhuǎn)化思想在初中數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用

摘 要: 轉(zhuǎn)化思想就是把未知的、陌生的、復(fù)雜的問題，轉(zhuǎn)化為熟悉、規(guī)范、簡單的問題。本文將轉(zhuǎn)化思想在初中數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用作簡單的闡述，并通過對初中數(shù)學(xué)常見的數(shù)學(xué)題型的研究，初步分析該思想在解題中的應(yīng)用，使學(xué)生能夠在已有知識范圍內(nèi)解決比較復(fù)雜的數(shù)學(xué)問題，為數(shù)學(xué)解題提供捷徑。

關(guān)鍵詞: 初中數(shù)學(xué)解題 轉(zhuǎn)化思想 轉(zhuǎn)化類型 轉(zhuǎn)化方法

布盧姆在《教育目標(biāo)分類學(xué)》明確指出，數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想是“把問題元素從一種形式向另一種形式轉(zhuǎn)化的能力”。如果學(xué)生在掌握雙基的同時，接受了數(shù)學(xué)思想，學(xué)會了數(shù)學(xué)方法，就能激發(fā)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)興趣，提高分析問題和解決問題的能力，并為以后的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)打下堅實的基礎(chǔ)。

數(shù)學(xué)解題的本質(zhì)就是轉(zhuǎn)化，即把生疏問題轉(zhuǎn)化為熟悉問題，把抽象問題轉(zhuǎn)化為具體問題，把復(fù)雜問題轉(zhuǎn)化為簡單問題，把一般問題轉(zhuǎn)化為特殊問題，把高次問題轉(zhuǎn)化為低次問題，把未知條件轉(zhuǎn)化為已知條件，把一個綜合問題轉(zhuǎn)化為幾個基本問題。因此學(xué)生學(xué)會的數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化，既包含了數(shù)學(xué)特有的數(shù)、式、形的相互轉(zhuǎn)換，又包含了心理達標(biāo)的轉(zhuǎn)換。轉(zhuǎn)化的目的是不斷發(fā)現(xiàn)問題，然后分析問題，最終解決問題。下面我結(jié)合自己多年的教學(xué)實踐，談?wù)勗诔踔袛?shù)學(xué)解題中常見的基本轉(zhuǎn)化類型和轉(zhuǎn)化方法。

一、運用數(shù)與形之間的“轉(zhuǎn)化”，化抽象為直觀。

初中數(shù)學(xué)是以“數(shù)”與“形”這兩個基本概念為基礎(chǔ)而展開的。《初中數(shù)學(xué)新課程標(biāo)準(zhǔn)》(以下簡稱《新課標(biāo)》)在學(xué)習(xí)內(nèi)容中要求:“能運用圖形形象地描述問題，利用直觀來進行思考。”如運用平面直角坐標(biāo)系來解決有關(guān)函數(shù)方面的問題，可以通過圖形將復(fù)雜或抽象的數(shù)量關(guān)系直觀形象地翻譯出來，探索出一條合理而乘勢的解題途徑，從而達到解決學(xué)生心中存在的困惑，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)解題能力目的。

例1:(2009廣東肇慶中考)如圖，已知一次函數(shù)y=x+m(m為常數(shù))的圖像與反比例函數(shù)y=(k≠0)的圖像相交于點A(1，3)。

(1)求這兩個函數(shù)的解析式及其圖像的另一個交B的坐標(biāo)。

(2)觀察圖像，寫出使函數(shù)值y>y的自變量的取值范圍。

分析:①本題要求函數(shù)解析式，只要把點A(1，3)代入函數(shù)關(guān)系式(點轉(zhuǎn)化為數(shù))，即解得m=2，k=3。

②要求兩圖像的另一交點B的坐標(biāo)，只要解兩個函數(shù)聯(lián)立成的方程組，解得的另一組解(數(shù)轉(zhuǎn)化為點)，即得點B(-3，-1)，此解題過程就是將數(shù)轉(zhuǎn)化為形的過程(使學(xué)生直接感受到抽象的方程組解，就是在平面直角坐標(biāo)系中兩個圖像的交點的坐標(biāo))。

③要寫出函數(shù)值y>y的自變量的取值范圍(若轉(zhuǎn)化為解分式不等式，則超出初中數(shù)學(xué)知識范圍)，本題可通過把形轉(zhuǎn)化為數(shù)來解決，即通過觀察圖像可知:所謂函數(shù)值y>y，即在平面直角坐標(biāo)系中就是直線在雙曲線上方部分，此時自變量x的取值范圍為:-31。

二、把綜合問題“轉(zhuǎn)化”為基礎(chǔ)問題，變復(fù)雜為簡單。

數(shù)學(xué)解題的過程是分析問題和解決問題的過程，對于較難(繁)的問題，可以通過分析將問題轉(zhuǎn)化成幾個難度與學(xué)生的思維水平同步的小問題，再根據(jù)這幾個小問題之間的相互聯(lián)系，以局部知識的掌握為整體服務(wù)，從而找到解題的捷徑。

例2:(2010江蘇南京中考壓軸題)如圖，正方形ABCD的邊長是2，M是AD的中點，點E從點A出發(fā)，沿AB運動到點B停止，連接EM并延長交射線CD于點F，過M作EF的垂線交射線BC于點G，連結(jié)EG、FG。

(1)設(shè)AE=x時，△EGF的面積為y，求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式，并寫出自變量x的取值范圍;

(2)P是MG的中點，請直接寫出點P的運動路線的長。

分析:本題通過以下幾步轉(zhuǎn)化:(1)把動點E轉(zhuǎn)化為定點，一般學(xué)生見到動點就無從下手，找不到解題思路。只有將動點轉(zhuǎn)化為定點，學(xué)生解題才能找到感覺，如何將動點轉(zhuǎn)化為定點，就是我們常講的“動中取靜”。當(dāng)點E在線段AB上運動，只可能存在三種情況:①點E與點A重合;②點E與點B重合;③點E在線段AB上，通過觀察分析不管點E在什么位置，△EGF的面積y=EF×MG。(2)把線段EF轉(zhuǎn)化用含x的代數(shù)式來表示;由M為AD中點，易證Rt△EAM≌Rt△FDM，得到EM=FM，在Rt△EAM中，由勾股定理得EM=，即EF=2。(3)把線段MG轉(zhuǎn)化用含x的代數(shù)式來表示;作MN⊥BC，構(gòu)造Rt△MNG∽Rt△EAM，由相似三角形對應(yīng)邊成比例，得到MG=2。綜合上述三次轉(zhuǎn)化即得到△EGF的面積為=×2×2=2x+2。

由第一步的“動中取靜”的轉(zhuǎn)化可知:點E由點A移動到B，所以自變量x的取值范圍為0≤x≤2;只要在圖中簡單的畫出點E分別在于A、B兩點重合時，線段MG的中點P的位置，很容易得到線段MG的中點P運動的路線長為2。

三、把實際問題“轉(zhuǎn)化”為數(shù)學(xué)模型，體會數(shù)學(xué)與現(xiàn)實生活的密切聯(lián)系。

《新課標(biāo)》在基本理念中指出:“數(shù)學(xué)是人們生活、勞動和學(xué)習(xí)必不可少的工具，能夠幫助人們處理數(shù)據(jù)、進行計算、推理和證明，數(shù)學(xué)模型可以有效地描述自然現(xiàn)象和社會現(xiàn)象。”重視數(shù)學(xué)知識的應(yīng)用，加強數(shù)學(xué)與實際的聯(lián)系，是《新課標(biāo)》強調(diào)的重點之一。在解決實際問題時，教師要重在分析，把實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)模型，培養(yǎng)學(xué)生應(yīng)用數(shù)學(xué)知識解決實際問題的能力。

例3:(2010山東青島市中考題)某市政府大力扶持大學(xué)生創(chuàng)業(yè)。李明在政府的扶持下投資銷售一種進價為每件20元的護眼臺燈。銷售過程中發(fā)現(xiàn)，每月銷售量y(件)與銷售單價x(元)之間的關(guān)系可近似的看作一次函數(shù):y=-10x+500。

(1)設(shè)李明每月獲得利潤為w(元)，當(dāng)銷售單價定為多少元時，每月可獲得最大利潤?

(2)如果李明想要每月獲得2000元的利潤，那么銷售單價應(yīng)定為多少元?

(3)根據(jù)物價部門規(guī)定，這種護眼臺燈的銷售單價不得高于32元，如果李明想要每月獲得的利潤不低于2000元，那么他每月的成本最少需要多少元?(成本=進價×銷售量)

分析:(1)要解決“銷售單價定為多少元時，每月可獲得最大利潤?”，也就是把實際問題轉(zhuǎn)化二次函數(shù)的極值問題:即每月利潤=每件產(chǎn)品利潤×銷售產(chǎn)品件數(shù)，得:w=(x-20)·y=(x-20)·(-10x+500)，通過整理轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)w=-10x+700x-10000，再由x=-，解得x=35，即當(dāng)銷售單價定為35元時，每月可獲得最大利潤。

(2)要解決“每月獲得2000元的利潤，那么銷售單價應(yīng)定為多少元”，即轉(zhuǎn)化為列一元二次方程解應(yīng)用題問題，由題意得:(x-20)·(-10x+500)=2000，解這個方程得:x=30，x=40。所以要每月獲得2000元的利潤，銷售單價應(yīng)定為30元或40元。

(3)要解決售價、獲利的在一定范圍內(nèi)的所需成本最低這一實際問題，則需將本題轉(zhuǎn)化一次函數(shù)、二次函數(shù)有關(guān)性質(zhì)來完成。∵二次函數(shù)w=-10x+700x-10000，a=-10<0，拋物線開口向下，∴當(dāng)30≤x≤40時，w≥2000;又∵銷售單價不得高于32元，∴當(dāng)30≤x≤32時，w≥2000;設(shè)成本為P(元)，由題意得:P=20(-10x+500)=-200x+10000，由一次函數(shù)性質(zhì)k=-200<0時，P隨x的增大而減小，∵30≤x≤32，∴x=32時，P=3600，要實現(xiàn)銷售單價不得高于32元，每月獲得的利潤不低于2000元，每月的成本最少為3600元。

綜上所述，轉(zhuǎn)化思想貫穿在數(shù)學(xué)解題的始終，而轉(zhuǎn)化思想具有靈活性和多樣性的特點，沒有統(tǒng)一的模式可遵循，需要依據(jù)問題提供的信息，利用動態(tài)思維去尋求有利于問題解決的變換途徑和方法，所以學(xué)習(xí)和熟悉轉(zhuǎn)化的思想，有意識地運用數(shù)學(xué)變換方法，去靈活地解決有關(guān)數(shù)學(xué)問題，將有利于提高數(shù)學(xué)解題的應(yīng)變能力和技巧。

參考文獻:

[1][美]洛林·W.安德森.布盧姆教育目標(biāo)分類學(xué):分類學(xué)視野下的學(xué)與教及其測評[M].北京:外語教學(xué)與研究出版社，2009.

[2]中華人民共和國教育部.初中數(shù)學(xué)新課程標(biāo)準(zhǔn)[M].北京:人民教育出版社，2008.