教師角色的改變對新課改的實施至關重要

摘 要: 傳統的數學課程內容重結果輕過程，形成結果的生動過程往往被單調機械的條文所取代，所以數學教學中有太多的機械、沉悶和程式化，缺乏生機、樂趣和對好奇心的刺激。要想改變上述狀況，教師就需要改變角色，從知識傳授者轉變為學生發展的促進者;從支配者轉變為組織者、引導者和合作者。

關鍵詞: 新課程 教師角色 “過程”學習

1.問題的提出

在學習高二年級《數系的擴充與復數的引入》這一章時，學生在學習了兩個復數的乘法以后，遇到這樣一道課后練習:求滿足下列條件的復數z∶(3-i)z=4+2i。學生通常想到以下兩種思想方法。方法一:利用待定系數法，根據復數相等的充要條件建立一個方程組，從而解出a、b，求出z;方法二:利用類比的思想，聯想到解一元一次方程。因為3-i≠0，所以z=，而這一形式可理解為兩個復數4+2i與3-i相除，根據前面所學內容，兩個復數的和、差、積的結果仍然是一個復數，那么猜想兩個復數相除:也是一個復數，如果是復數，那么根據復數的概念，復數的實部與虛部又會是什么?當學生提出這樣的想法時，我們首先要肯定學生的想法。如何處理這個問題?通常的處理辦法是告訴學生，這個問題等學習完了兩個復數除法后就會解決。在教學實踐中，我覺得這種處理辦法雖然省力，但是失去了一個難得的教學機會。

為了獲得較好的效果，我告訴學生提出這種想法很有價值，值得探討。同時要求學生對問題進行思考，為引入兩個復數的除法做積極的準備。為此，我進行了下面的教學設計，開展了一次探究教學嘗試。

2.教學過程摘錄

2.1復習相關知識，做相應準備。

教師:前面我們學習了復數的乘法，復數的乘法法則是什么?

學生:復數的乘法法則:(a+bi)(c+di)=(ac-bd)+(bc+ad)i。

教師:兩個復數的積仍然是一個復數，復數的乘法與多項式的乘法類似，只是在運算的過程中，要把i換成-1，然后把實部與虛部合并。同學們能否口算出(a+bi)(a-bi)的結果?

學生:a+b。

教師:你是怎樣很快得出這樣結果的?

學生:聯想到平方差公式:(a+b)(a-b)=a-b，根據復數的乘法法則得出的。

教師:很好!請同學們觀察(a+bi)(a-bi)=a+b左右兩邊，左邊是兩個共軛復數相乘，右邊是實數a+b;由此我們可以得出:①類比、聯想平方差公式，觀察可得出:“平方和公式”。②從左邊到右邊可理解為:兩個共軛復數相乘其結果是一實數，它是實現由虛數向實數轉化的一個重要途徑。

2.2利用課后練習題，探究引入復數的除法。

數學選修1—2(蘇教版)第63頁練習第4題(2):求滿足下列條件的復數z∶(3-i)z=4+2i。

2.2.1學生活動

思路一:待定系數法。

設z=a+bi(a，b∈R)，則(3-i)(a+bi)=4+2i，

即(3a+b)+(3b-a)i=4+2i，根據兩個復數相等的充要條件，

可得

3a+b=43b-a=2，

解之得a=1b=1，

所以，滿足條件的復數z=1+i。

思路二:聯想到解一元一次方程和兩個實數的除法運算。

因為(3-i)≠0，

所以由(3-i)z=4+2i得z==…

注:學生進行不下去了。

教師歸納:第一種思路是我們比較熟悉的，在前面已學習過:利用待定系數法，根據復數相等的充要條件來進行解答。而第二種思路大家可能比較陌生:用類比的思想，聯想到解一元一次方程和兩個實數的除法運算，進行解答。因為(3-i)≠0，所以z=…

2.2.2問題情境

問題1:會是一個復數嗎?若是，它的實部與虛部分別是什么?

學生活動:不少學生回答說是的，也有部分學生疑惑，不能確定。

教師引導:我們知道，兩個復數的和、差、積的結果仍然是一個復數，那么我們猜想，兩個復數相除，其結果也會是一個復數。即也是一個復數，那么根據復數的概念，復數的實部與虛部又會是什么?

問題2:有同學提出=+i;那么復數的實部與虛部分別是與，他說得對嗎?為什么?

學生:不對，因為與不是實數，根據復數的概念，與不能作為復數的實部和虛部。

教師:那么你從什么地方看出它們不是實數的?

學生:從它們的分母3-i看出的。

教師:為什么?

學生:因為3-i是虛數，所以與不是實數。

教師:很好!能否將它把分母3-i轉化為實數(即“分母實數化”)。

學生:能，利用前面我們所學過的“平方和公式”:(x+yi)(x-yi)=x+y。

教師:請你說得具體一點。

學生:把的分子、分母同時乘以分母的共軛復數。

教師:請你把這道題的完整的解題過程寫在黑板上。

2.2.3學生活動(板書解題過程)

由(3-i)z=4+2i得:z==

===1+i

教師歸納:和第一種解法的結果一樣，完全正確。其方法就是把的“分母實數化”，分子轉化成復數的乘法進行運算。我們把像滿足(3-i)z=4+2i的復數z叫做復數4+2i除以復數3-i的商，下面給出兩個復數的除法的定義。

2.3復數除法的定義。

(板書:把滿足(c+di)(x+yi)=a+bi(c+di≠0)的復數x+yi(x，y∈R)叫做復數a+bi除以復數c+di的商，記作(a+bi)÷(c+di)或。)

教師:下面請大家把運算一下，看結果是什么?

2.3.1學生活動

方法一:待定系數法

由(c+di)(x+yi)=a+bi得:cx+cyi+dxi+dyi=a+bi，

即(cx-dy)+(cy+dx)i=a+bi，根據兩個復數相等的充要條件，

可得

cx-dy=acy+dx=b，

解之得x=y=，

所以，復數x+yi==+i。

方法二:“分母實數化”

x+yi===

=+i。

教師:由于c+di≠0，所以c+d≠0。可見，兩個復數的商仍是一個復數。

……

經過以上幾個主要環節，學生對復數的除法有了比較清楚地認識，明白復數的除法是作為復數乘法的逆運算來定義的，并知道定義本身就提供了求兩個復數的商的一種常用方法(待定系數法);另外，求兩個復數的商還可以通過“分母實數化”來完成。

3.課后反思

3.1教師應提出恰當的對學生數學思維有適度啟發的問題，引導他們經歷觀察、猜想、推理、交流等思維的基本過程，切實改進學生的學習方式。本案例問題的提出，是由學生遇到困惑而引起的，這只是事物的表象，其實質應該是由教師提出的，開展探究性數學的主體是學生，核心卻是教師。它首先要求教師對中學數學教育的內容擁有較高的“貫通性”，要具有戰略的眼光，在知識形成過程的“關鍵點”上，在運用數學思想方法產生解決問題策略的“關節點”上，在數學知識之間“聯結點”上，在學生思維的“最近發展區”內，對教學實踐中發生的各種問題進行提煉、加工，使之成為探究教學的素材。我考慮:求滿足下列條件的復數:與以前所學的解一元一次方程類似，因為3-i≠0，學生自然就能想到z=，符合學生已有的認知結構，并促使學生進一步去探討這種思想方法到底能否行得通?如果行，怎樣進行下去?

3.2傳統的數學教學中有太多的機械、沉悶和程式化，缺乏生機、樂趣和對好奇心的刺激。于是，學習可無需智慧，只要認真聽講和單純記憶，讀書可不必深入思考，做題可不必詰問創新，排斥了學生數學學習過程中的思考和個性。本案例，通過對課后練習題的探討，引導學生大膽地提出自己的想法，并對自己提出的問題進行觀察、分析、討論、交流和整理，最后得出解決辦法。這種讓學生經歷“提出問題”、“分析問題”、“解決問題”的過程，是新的數學課程所倡導的重要理念之一。它給學生提供了自主探索的機會，讓學生在觀察、實驗、猜想、歸納、分析和整理的過程中去理解一個問題是怎樣提出來的，一個概念是如何形成的，一個結論是怎樣探索和猜測到的，以及這個結論是如何被應用的。這樣的形式可使學生創新精神的培養落到實處。

3.3由于建構主義學習理論的興起和發展，建構主義的學習觀對中學數學產生了深遠的影響。學習者對知識的接受只能由他們自己建構來完成。他們不僅要以自己的知識經驗為背景，對新知識進行分析、檢驗和批判，而且要對原有的知識進行再加工和再創造。因此，從本質上說，學生的學習過程是一個自主構建自己對數學知識的理解的過程:他們帶著原有的知識背景、活動經驗和理解走進學習活動，并通過自己的主動活動，包括獨立思考、與他人交流和反思等，去建構對數學的理解。本案例，我通過課后練習:求滿足下列條件的復數z∶(3-i)z=4+2i來探究引入復數的除法，學生感到親切、自然。并引導學生在原有的知識背景、活動經驗的基礎上聯想到解一元一次方程和對實數除法運算進行思考，進而想到z=……這就促使學生進一步去思考、探究，并通過師生共同努力得到解決問題的辦法。

參考文獻:

[1]數學 選修1-2.普通高中課程標準實驗教科書.江蘇教育出版社.

[2]教育部基礎教育司.數學課程標準解讀(實驗稿).