高等幾何教學問題及教學方法探討

摘 要: 高等幾何是高等院校數學與應用數學師范專業的一門重要基礎課之一。作者對高等幾何的知識結構作了簡單介紹，就教學中出現的問題作了分析，并從高等幾何的抽象、難教、難學的特點出發，結合自身的教學經驗，提出了幾種有效的教學方法:與中學相結合的教學方式，引導式教學，一題多解的教學，化抽象為具體式教學，多媒體教學。

關鍵詞: 高等幾何 問題 教學方法

1.引言

高等幾何是一門非常抽象的課程，在課堂上會出現很多教師難以講解、學生難以接受的知識點。很多學生覺得高等幾何這門學科對他們以后從事中小學教育沒有幫助，其實不然，高等幾何中的重要思想、處理問題的方法對學生抽象思維能力的提高有很大的幫助，能讓學使用高等幾何的觀點去看待、處理初等幾何中的問題，對他們在以后的工作中更好地把握初等幾何教材有很大的指導作用，因此研究如何提高高等幾何的教學質量，讓學生更輕松地學習高等幾何有很重要的意義。

2.高等幾何知識體系

高等幾何是高等院校數學類專業的重要基礎課之一，與數學分析、高等代數一起，被稱為“前三高”。主要內容包括射影平面、射影變換、變換群與幾何學、二次曲線理論、幾何學尋蹤等。本課程的主旨在于拓展學生的幾何空間知識，學習變換群觀點，進而達到訓練理性思維能力、增強數學審美意識、提高數學修養的目的，為學生以后的數學學習和未來的幾何學教學與研究打下良好的基礎。

3.高等幾何的特點與教學中存在的問題

高等幾何作為一門高等院校數學師范專業基礎課程，有其自身的特點和與之相對應的教學問題，具體分析如下。

(1)與中學聯系密切

教材中的許多理論、思想和方法在中學幾何中已有介紹，這為學習高等幾何奠定了基礎，但是也會帶來一些知識點的干擾。如:拓廣平面上齊次坐標的引入是為了實現數、形結合，用解析的方法研究射影幾何，使得學生既能刻畫有窮遠點，又能刻畫無窮遠點。但是很多同學始終擺脫不了傳統笛氏坐標的干擾，在具體教學過程中教師需要讓學生認識齊次坐標與笛氏坐標的根本區別在于齊次性，引導學生在掌握齊次性的前提下靈活運用線性代數知識。

(2)抽象

中學幾何中很多問題都能用圖形直觀地呈現出來，而高等幾何相對較抽象，如無窮遠點無法在圖形中直接畫出，這給學生理解拓廣平面增加了不少難度，在具體教學過程中教師只能通過與拓廣平面存在雙射的幾何形或者集合作為模型來幫助學生理解拓廣平面。

(3)方法靈活

數學很多知識點可以從不同的出發點考慮，方法也因為考慮的角度不同而靈活多樣，高等幾何也不例外。如三點共線和三線共點的某些問題，可以用Desargues透視定理，也可以用透視對應來解決。又如用幾何條件來證明對合問題時選取對應元素的方法較靈活。教師要利用靈活的方法來促進學生的思維能力的提高，培養學生獨立思考的習慣，提高學生的數學素養。

4.教學方法

(1)與中學相結合的教學方式

高等幾何在培養學生思維能力方面具有獨特的功能。學習高等幾何后，我們不僅可以用它的觀點來指導初等幾何的教學，為初等幾何教學提供新的思維方法，而且能更透徹地理解初等幾何中的一些現象、規律。如“一個三角形外切于一個圓，則其每邊的切點與頂點的連線必共點”，這是初等幾何常見的結論，此結論在高等幾何中實際上就是Brianchon定理的極限形式，在講解二次曲線射影理論時可以給出透徹的說明。

(2)引導式教學

學生在大學學習數學課程常常脫離不了抄筆記、記筆記和背筆記的模式，上課時老師一遍又一遍地講解數學定義、性質、定理和證明，學生則忙著抄筆記，很少有時間去思考。長此以往，一些學生覺得沒有必要上課，考試前將同學的筆記復印后，直接看筆記備考即可。針對此現象，我在高等幾何的教學過程中盡量避免“灌輸式”的教學模式，以問題解決為中心，提高學生的參與意識，采取引導式教學模式，將單向傳授方式變為雙向傳遞方式，適時將問題拋給學生，鼓勵學生積極主動地提問，發現教學中的盲點，知道哪些知識點是學生難以理解的，然后重點講解。

(3)一題多解的教學方法

為了培養學生不盲目依賴于書本，多角度、多層次思考問題的能力，教師要讓學生盡可能地尋找多種方法對問題加以解決。如:證明三點共線、三線共點問題，有些既可以用Desargues透視定理，又可以用透視對應中的一些結論，甚至有的還能用調和分離來證明。又如:初等幾何中常常出現的某些幾何證明題既可以用代數法證明，又可以用幾何法證明，高等幾何中也有應用，下面一道例題分別用了幾何方法和代數方法證明。

例:設A、B、C、D是點列l(P)上四點，且(AB，DP)=(AB，PC)。求證:在l(P)上有相異二點P、P’滿足條件，且(AB，PP’)=-1。

證法一:

由(AB，DP)=(AB，PC)(AB，DP)=(BA，CP)

PP，PPP’P，PP

所以，P為A→B;C→D所確定的對合中的不變點。設此對合的另一個不變點為P’，則P’也滿足條件(AB，DP’)=(AB，P’C)。

于是，在l(P)上有相異的二點P，P’為A→B;C→D所確定的對合中的不變點，滿足(AB，PP’)=-1。

證法二:設A，B，C，D的齊次坐標依次為:

a，b，a+b，a+λb，P的齊次坐標為a+λb，

因為(AB，DP)=(AB，PC)

所以=?圯λ=±

所以，在l(P)上有相異二點P:a+b，P’:a-b

滿足條件，而且(AB，PP’)=-=-1.

教師可以針對這些問題進行階段性的總結，通過一題多解培養學生靈活、系統地運用知識點的能力，培養學生的發散性思維能力和創造能力，進而調動學生學習的積極性，激發學生學習的興趣。

(4)化抽象為具體式教學

教師要結合學生特點教學，所有問題都要化繁為簡，做到細化、簡化、明朗化。高等幾何教材中很多定理學生都會覺得難以讀懂、難以理解，講解中要結合學生特點，始終圍繞如何讓學生比較輕松地接受知識，如何將知識點更加直觀的呈現給學生。例如:“完全四點形和完全四線形的調和性”這節中的定理:完全四點形的一對對邊被過此二邊交點的對邊三點形的兩邊調和分離。學生讀完此定理往往是不知所云，我們在講解的時候可以結合圖1換種說法:經過三個對邊點X、Y、Z各有一個調和直線組，比如經過對邊點X有一調和直線組，其中一對為過X的對邊s、s’，另一對為過X的對邊三點形的兩邊t、t’。這樣此定理學生理解起來會相對較輕松。

(5)多媒體教學

多媒體以形象生動的文字、圖像、聲音，使學生在學習時保持思維活動的積極狀態，通過對圖像內容進行由表及里，從個別到整體的認識和思考，能培養學生分析問題和解決問題的能力。高等幾何的教學過程中適當地運用多媒體進行教學是很有必要的，它能夠應用兩個或多個畫面的同步顯示功能，通過比較、綜合、分析，充分體現兩個知識點之間的聯系，例如Desargues透視定理的關鍵是理解Desargues點、Desargues線，以及它們之間的關系，講解此定理時可以用多媒體向學生分別展示如何畫出透視中心(Desargues點)和透視軸(Desargues線)，以及如何將透視中心和透視軸集中在一張幾何圖形上，運用多媒體可以讓學生反復觀看，加深印象，更直觀的認識Desargues點和Desargues線。

5.結語

高等幾何課程的學習有益于拓展學生的幾何空間知識，培養學生的抽象思維、邏輯推理能力，為學生以后的數學學習和未來的幾何學教學與研究打下良好的基礎。我結合實際教學經驗，針對教學中存在的問題，就四種教學方法:與中學相結合的教學方式、引導式教學、一題多解的教學、化抽象為具體式教學、多媒體教學作了較為詳細的介紹。總之，教師需要不斷地加強理論知識的學習，熟悉教材內容、體系、知識間的聯系，研究新的教學方法，充分調動學生學習的積極性，這樣才能有良好的教學效果。

參考文獻:

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