整體把握高中數(shù)學(xué)的“主線(xiàn)”:函數(shù)

函數(shù)是高中數(shù)學(xué)的核心內(nèi)容，在整個(gè)中學(xué)數(shù)學(xué)課程中充當(dāng)著聯(lián)系各部分代數(shù)知識(shí)的“紐帶”。要想學(xué)好函數(shù)，要想對(duì)函數(shù)概念有更多的感悟，學(xué)生就要放在數(shù)學(xué)的大框里整體把握函數(shù)內(nèi)容。

一、從高中數(shù)學(xué)知識(shí)鏈中認(rèn)識(shí)函數(shù)

函數(shù)是必修1的重點(diǎn)內(nèi)容，也是中學(xué)數(shù)學(xué)的基本概念之一。新課程數(shù)學(xué)從必修到選修，函數(shù)是其中一條主線(xiàn)，主要體現(xiàn)在必修1:函數(shù)概念和性質(zhì)與基本初等函數(shù)I(指數(shù)、對(duì)數(shù)、冪函數(shù));必修數(shù)學(xué)4:基本初等函數(shù)II(三角函數(shù));必修數(shù)學(xué)5:數(shù)列(離散型函數(shù));選修系列1-1(2-2):用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的性質(zhì)。

函數(shù)是研究方程、不等式、數(shù)列、線(xiàn)性規(guī)劃、算法、微積分的基本思想，函數(shù)模型是實(shí)際問(wèn)題和幾何問(wèn)題中研究最值的常用模型。

二、從高中數(shù)學(xué)內(nèi)容和結(jié)構(gòu)中認(rèn)識(shí)函數(shù)

必修1中主要是:函數(shù)的概念、圖像和性質(zhì)→三種函數(shù)模型(指數(shù)、對(duì)數(shù)、冪函數(shù))→函數(shù)與方程→函數(shù)模型及其數(shù)據(jù)應(yīng)用。

必修4中主要是:角的概念及表示→三角公式及應(yīng)用→三角函數(shù)的圖像→三角函數(shù)的性質(zhì)(單調(diào)性、奇偶性、周期性、對(duì)稱(chēng)性)→三角函數(shù)模型的應(yīng)用。

必修5中主要是:數(shù)列的概念及表示方法→兩種數(shù)列模型(等差、等比)→a，S的研究→數(shù)列模型的應(yīng)用。

選修1-1(2-2)主要是:導(dǎo)數(shù)的概念及其幾何意義→常見(jiàn)函數(shù)的求導(dǎo)公式及求導(dǎo)法則→用導(dǎo)數(shù)刻畫(huà)單調(diào)性→極大值、極小值→最大值、最小值→實(shí)際應(yīng)用。

從高中所研究的初等函數(shù)來(lái)看，函數(shù)的研究的結(jié)構(gòu)都遵循著以下幾種結(jié)構(gòu)。

三、從高中數(shù)學(xué)的思維方式認(rèn)識(shí)函數(shù)

1.兩條線(xiàn)索

一是抽象的數(shù)學(xué)研究，主要研究對(duì)象是符號(hào)y=f(x)，符號(hào)化、形式化是數(shù)學(xué)的重要特征，如所有的函數(shù)關(guān)系都可以用抽象符號(hào)y=f(x)來(lái)表示，這種表示不僅形式簡(jiǎn)單，而且可以加深對(duì)函數(shù)概念本質(zhì)的理解。

二是具體的實(shí)例研究，主要研究對(duì)象是y=a，y=logax，y=x，y=sinx，y=cosx，y=tanx，以及初中學(xué)的y=kx+b，y=，y=ax+bx+c等函數(shù)，通過(guò)研究這些函數(shù)圖像，掌握這些函數(shù)的性質(zhì)，對(duì)了解和掌握函數(shù)的性質(zhì)具有形象直觀的優(yōu)勢(shì)。

2.兩個(gè)角度

對(duì)高中函數(shù)的研究是從兩個(gè)角度進(jìn)行的，一是從符號(hào)語(yǔ)言對(duì)函數(shù)進(jìn)行精確的刻畫(huà);二是從圖形語(yǔ)言對(duì)函數(shù)進(jìn)行直觀的描述。這兩種角度貫穿了函數(shù)的學(xué)習(xí)的全過(guò)程，具體體現(xiàn)在以下幾個(gè)方面。

(1)函數(shù)的概念

在函數(shù)的概念中定義域的定義為所有輸入值x組成的集合，值域的定義為所有輸出值y組成的集合。其本質(zhì)就是由符號(hào)的取值構(gòu)成的集合，而這兩個(gè)函數(shù)基本概念用圖形語(yǔ)言描述為函數(shù)y=f(x)的圖像在x軸上的射影構(gòu)成的集合即為定義域，在y軸上的射影構(gòu)成的集合即為值域。如圖1，值域用圖形語(yǔ)言描述。

(2)函數(shù)的表示方法

函數(shù)有三種表示方法:列表法、圖像法、解析式法。

解析式即用一個(gè)關(guān)于x、y的二元方程f(x，y)=0來(lái)表示兩個(gè)變量之間的關(guān)系。圖像即把二元方程f(x，y)=0解構(gòu)造為一個(gè)點(diǎn)集{(x，y)|f(x，y)=0}，然后建立平面直角坐標(biāo)系畫(huà)出函數(shù)的圖像。前者是通過(guò)式子用代數(shù)的方法刻畫(huà)了兩個(gè)變量之間的關(guān)系便于通過(guò)等式研究函數(shù)的性質(zhì)，而后者是通過(guò)圖形用幾何的方法刻畫(huà)了兩個(gè)變量之間的關(guān)系能夠直觀反映函數(shù)值隨自變量值變化的趨勢(shì)。

如方程x+y=1(y≥0)，根據(jù)函數(shù)定義可得，該二元方程即為函數(shù)y=，而該方程的解構(gòu)造為一個(gè)點(diǎn)集{(x，y)|y=}，畫(huà)出圖像如圖2所示。

(3)函數(shù)的性質(zhì)

①單調(diào)性

符號(hào)語(yǔ)言:“>0”就是對(duì)自然語(yǔ)言“隨著x增大，y也增大”的精確刻畫(huà)。

圖形語(yǔ)言:

從左向右觀察，曲線(xiàn)在逐漸上升，這樣就是對(duì)自然語(yǔ)言“隨著x增大，y也增大”的直觀反映。

②奇偶性

符號(hào)語(yǔ)言:“?坌x∈D，f(x)=±f(-x)，”就是對(duì)奇偶性的精確刻畫(huà)。

圖形語(yǔ)言:通過(guò)圖形關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)和關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)直觀反映了函數(shù)奇偶性。

③周期性

符號(hào)語(yǔ)言:“?坌x∈R，f(x)=f(x+T)”就是對(duì)自然語(yǔ)言“周而復(fù)始”的精確刻畫(huà)。

圖形語(yǔ)言:通過(guò)圖形的不斷重復(fù)，直觀地反映了函數(shù)的周期性。

從函數(shù)的概念到函數(shù)表示與函數(shù)性質(zhì)，我們可以發(fā)現(xiàn)高中函數(shù)的研究是從代數(shù)角度用符號(hào)語(yǔ)言和幾何角度用圖形語(yǔ)言這兩個(gè)角度來(lái)進(jìn)行研究。

四、從高中數(shù)學(xué)感受與應(yīng)用認(rèn)識(shí)函數(shù)

1.函數(shù)與方程之間的關(guān)系

代數(shù):ax+b=0相當(dāng)于函數(shù)y=ax+b，當(dāng)x=?時(shí)y=0?

ax+bx+c=0相當(dāng)于函數(shù)y=ax+bx+c，當(dāng)x=?時(shí)y=0?

f(x)=0相當(dāng)于函數(shù)y=f(x)當(dāng)x=?時(shí)y=0?

幾何:方程f(x)=0的根即為y=f(x)的零點(diǎn)。

2.函數(shù)與不等式之間的關(guān)系

代數(shù):y=ax+b>0，y=ax+bx+c>0，即解不等式的解的問(wèn)題就是函數(shù)值大于零或小于零時(shí)對(duì)應(yīng)自變量的值。

幾何:如:x-5x>0的解集即為函數(shù)y=x-5x在x軸上方所對(duì)應(yīng)圖像在x上投影的集合。

3.函數(shù)模型的應(yīng)用

日常生活中有著太多的變量與變量之間的關(guān)系，如何用數(shù)學(xué)的方法來(lái)研究它們，而函數(shù)作為一個(gè)重要的模型之一，其發(fā)揮著巨大的作用。

用數(shù)學(xué)的方法來(lái)研究實(shí)際問(wèn)題，其本質(zhì)就是建立數(shù)學(xué)模型和數(shù)學(xué)方法的運(yùn)用，其過(guò)程如下圖:

高中新課程對(duì)實(shí)際的應(yīng)用進(jìn)一步加大，其目的是想通過(guò)對(duì)函數(shù)的應(yīng)用，使得以前我們對(duì)于數(shù)學(xué)與實(shí)際、數(shù)學(xué)與其他學(xué)科的聯(lián)系未能給予充分的重視，使得學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)的興趣日趨減少，認(rèn)為數(shù)學(xué)就是做題，學(xué)數(shù)學(xué)沒(méi)用、升學(xué)有用等現(xiàn)象得到避免，通過(guò)數(shù)學(xué)應(yīng)用的教學(xué)活動(dòng)符合社會(huì)需要，有利于激發(fā)同學(xué)們學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，有利于增強(qiáng)同學(xué)們的應(yīng)用意識(shí)，有利于拓寬學(xué)生的視野。

綜上所述，函數(shù)是高中數(shù)學(xué)課程的一條主線(xiàn)，從一個(gè)角度鏈接起了高中數(shù)學(xué)課程的許多內(nèi)容。有了這條主線(xiàn)就可以把數(shù)學(xué)知識(shí)編織在一起，所以學(xué)好函數(shù)也就頂住了高中內(nèi)容的“半邊天”。