高中生數學成績差異舉例及消除策略

每年都有新同學從初中滿懷期冀進入高中，可隨著時間的推移，當初進入高中時一些原來數學成績相當的同學的成績差異卻越來越明顯。這種差異究竟在什么地方?僅僅是因為能力有大小?我遴選了具有代表性的兩類同學的答題卷進行了對照比較，發現其差異主要體現在以下幾個方面。

一、數學成績差異對照

1.計算能力的差異

數學成績優異學生往往運算精度高，會做的題目基本不會在計算上出問題;但另一部分學生卻常常在運算上出問題，很多會做的題目都是因為運算的問題而失分。

2.基礎知識的靈活運用上的差異

例1.已知互不相等的四個實數x、y、m、n滿足x+y=a，m+n=b，求xm+yn的最大值。

(優等生):令x=cosα，y=sinα，m=cosβ，n=sinβ，

則xm+yn=(cosαcosβ+sinαsinβ)=cos(α-β)，由|cos(α-β)|≤1，得(xm+yn)=.

(中等生):利用均值不等式得到式子mx≤與ny≤，

相加得:mx+ny≤+=，故(xm+yn)=.

基礎知識包括定義、公式、法則、定理和常規的解題方法等。數學成績優異的學生對上述基礎知識的把握透徹，洞悉其機理，且能夠靈活運用其解題;而后者則局限于公式的記憶，對其機理理解不到位，盲目模仿公式，機械照搬。這里優等生考慮到均值不等式等式成立的條件，對公式理解透徹，從而選擇了三角換元法求解;而中等生則盲目套用公式，沒有關注到題目的條件限制，造成解題失誤。

3.解題方法選擇上的差異

例2.已知關于x的一元二次方程x+2mx+2m+1=0在(0，1)內有解，求實數m的取值范圍。

(優等生):由題意原方程可等價轉化為:方程2m=-在x∈(0，1)上有解，即求g(x)=-，x∈(0，1)的值域.求導知g(x)在區間(0，-1)上單調遞增，在區間(-1，1)上單調遞減。又g(0)=-1，g(-1)=2-2，g(1)=-1，且g(0)

(中等生):由題意得:方程2m=-在x∈(0，1)上有解.即求g(x)=-，x∈(0，1)的值域.又g(x)=-=…=-[(x+1)+-2]，令G(t)=t+，t∈(1，2)，其中t=x+1，可證明函數G(t)=t+在(1，]上單調遞減，在[，2)上單調遞增，從而得到實數m的取值范圍是:-

在解題過程中，選擇恰當的解題方法，能夠使運算過程大大的縮短，自然就減少計算的失誤，從而使得解題既快速又準確。優等生往往在解題方法的選擇上占據優勢。

4.題目信息挖掘能力上的差異

例3.已知圓C:(x-1)+(y-2)=25及直線l:(2m+1)x+(m+1)y=7m+4(m∈R)。求證:無論m取任何實數，直線l與圓C恒相交.

(優等生):由題意可知，直線l恒過點P(3，1)，不難得到點P(3，1)落在圓C的內部，所以無論m取任何實數，直線l與圓C恒相交.

(中等生):圓心(1，2)到已知直線的距離d=…=，要證直線與圓恒相交，只需證明d<5即可，兩邊平方并整理得:即證明116m+114m+49>0恒成立，又△=114-4×116×49=16(1296-1421)<0，顯然成立.

在解題過程中，優等生往往注意合理挖掘到題目的隱含條件，而中等生則往往按照常規方法求解，導致解題復雜。

二、差異消除策略

是什么原因造成起步相同的學生經過高中的一段時間學習后有如此大的差異呢?我們仔細分析不難得出結論:很大程度上是教師在對學生的要求和在教學上存在的差異造成的。那么如何才能消除這種差異呢?

1.注重學生養成良好的計算和書寫習慣教學

一部分學生在平時的學習中，只關注對知識的理解，不關注如何將所學知識最大限度地反映到試卷上。因此，平時不注意運算的準確率，也不關心書寫的規范性，以為只要考試時注意就可以了。殊不知，當考試時所有問題就暴露出來了。因此，教師在平時的教學中，要注意指導學生在規定的時間內高質量地完成規定的題目，有時還有必要用專門的時間培養學生這一方面的能力。

2.注重知識的形成的過程教學

知識的形成過程往往蘊涵著解題思想方法與解題技巧。現如今高中教學時間緊迫，于是部分教師喜歡將概念、定理等基礎知識的教學淡化，而將結論直接告訴學生，不注重知識的形成教學，不注意讓學生完成對基礎知識的理解就學習，以為這樣可以縮短教學時間，殊不知這樣一來造成學生對知識的理解一知半解，在解題時只知道套用公式，從而造成失誤。

如在推導“等比數列前n項和”公式的教學一課可以這樣來設問:(1)等差數列通項公式及求和公式是什么?(2)等差數列的通項公式與求和公式是如何推導的?(3)能夠用逆序求和法推導出等比數列的求和公式嗎?(4)能夠用歸納猜想法嗎?(5)能不能用證明等差數列通項公式的“疊加法”去證明?(6)教材中，為什么要在等式“S=a+aq+aq+…+aq+aq”兩邊同乘以q?其目的和意義是什么?(7)你還有其他的方法嗎?

這樣設計就強調了知識的形成過程，同時在知識的形成過程中涉及到諸多數列求和的方法。本節課的教學效果與直接告訴公式的教法的效果相比是顯而易見的。

3.注重學生解題方法選擇的教學

很多教師(尤其是青年教師)在例題講解中喜歡就題講題，只注重題目本身所涉及知識的講解，而對講解的后續工作做得不到位。實際上，教師在解題教學中應該以例習題為載體，重在分析如何入題，而在多種解法出來之后，最重要的工作是將多種不同方法進行對照比較，分析解題方法的選擇與條件和結論的關系，在什么樣的條件下選擇什么樣的方法最佳。這樣學生的分析問題、解決問題的能力就能得到本質的提高，從而在考試時就會少犯或不犯解題方法選擇和挖掘隱含條件的錯誤了。

總之，學生存在的這種差異主要來自于教師。如果每一位數學教師既研究教師的教，又研究學生的學，那么學生的這種差異就會縮短，也就會有更多的學生能夠學好高中數學。