蘇教版小學(xué)數(shù)學(xué)教材中滲透函數(shù)思想的分析研究

摘 要: 數(shù)學(xué)新課程把函數(shù)思想作為貫穿中小學(xué)數(shù)學(xué)的一個(gè)重要思想，教材作為課程實(shí)施的載體，系統(tǒng)地挖掘并整理小學(xué)數(shù)學(xué)教材中蘊(yùn)含函數(shù)思想的因素，對(duì)提高小學(xué)教師對(duì)教材中函數(shù)思想的認(rèn)識(shí)，進(jìn)而在教學(xué)中有效地滲透函數(shù)思想具有重要的意義，進(jìn)一步體現(xiàn)新課程改革的理念，使小學(xué)數(shù)學(xué)和中學(xué)數(shù)學(xué)有更好的銜接。

關(guān)鍵詞: 蘇教版小學(xué)數(shù)學(xué)教材 函數(shù)思想 呈現(xiàn)方式

在新課程改革的背景下，《全日制義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(實(shí)驗(yàn)稿)》中提出一些重要的數(shù)學(xué)概念與數(shù)學(xué)思想方法應(yīng)根據(jù)學(xué)生的心理特征、知識(shí)背景和所學(xué)知識(shí)的特點(diǎn)循序漸進(jìn)、螺旋上升。函數(shù)思想作為貫穿中小學(xué)數(shù)學(xué)的一個(gè)重要思想，雖然在小學(xué)階段并沒(méi)有出現(xiàn)函數(shù)概念，但蘇教版小學(xué)數(shù)學(xué)教材中的很多內(nèi)容都滲透了函數(shù)思想。教材中所蘊(yùn)含的函數(shù)思想主要體現(xiàn)在:對(duì)應(yīng)關(guān)系、數(shù)列和圖形的排列規(guī)律、運(yùn)算性質(zhì)和計(jì)算公式、用字母表示數(shù)、正反比例、統(tǒng)計(jì)圖表這些知識(shí)板塊中，在這些知識(shí)的呈現(xiàn)方式上隨著年級(jí)的增高抽象化程度逐步增強(qiáng)。

1.對(duì)應(yīng)關(guān)系

變化和對(duì)應(yīng)的思想是函數(shù)思想的本質(zhì)，低年級(jí)滲透的對(duì)應(yīng)思想主要借助實(shí)物等一些具體的模型，使學(xué)生直觀地感受對(duì)應(yīng)關(guān)系，中高年級(jí)滲透的對(duì)應(yīng)思想主要是抽象的數(shù)與數(shù)之間的對(duì)應(yīng)。

如:一年級(jí):數(shù)一數(shù)，名數(shù)與常數(shù)之間的一一對(duì)應(yīng)，認(rèn)數(shù)，借助實(shí)物將同樣多的部分建立一一對(duì)應(yīng)關(guān)系，讓學(xué)生體驗(yàn)大于或小于;借助小棒建立不同計(jì)數(shù)單位之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系，讓學(xué)生領(lǐng)悟十個(gè)一是一個(gè)十。二年級(jí):認(rèn)識(shí)乘法，由一個(gè)加法算式對(duì)應(yīng)兩道乘法算式。三年級(jí):24時(shí)計(jì)時(shí)法與普通計(jì)時(shí)法一一對(duì)應(yīng)，軸對(duì)稱圖像上的點(diǎn)關(guān)于對(duì)稱軸一一對(duì)應(yīng)。四年級(jí):在折線統(tǒng)計(jì)圖中數(shù)據(jù)與統(tǒng)計(jì)圖中的點(diǎn)一一對(duì)應(yīng)。五年級(jí):點(diǎn)的位置和它的坐標(biāo)一一對(duì)應(yīng)。在表現(xiàn)形式上，既有以圖解的形式體現(xiàn)對(duì)應(yīng)關(guān)系，使學(xué)生直觀的體驗(yàn)到“像”與“原像”之間的“一一對(duì)應(yīng)”;又有以數(shù)軸的形式體現(xiàn)對(duì)應(yīng)關(guān)系，使學(xué)生感受到越靠近右端數(shù)越大。

2.圖形(數(shù))的排列規(guī)律

“探索規(guī)律”是新課程小學(xué)數(shù)學(xué)教材“數(shù)與代數(shù)”領(lǐng)域內(nèi)容的一部分，《標(biāo)準(zhǔn)》把“探索規(guī)律”作為滲透函數(shù)思想的一個(gè)重要方面，“探索規(guī)律”實(shí)際上就是培養(yǎng)學(xué)生的“模式化”思想，發(fā)現(xiàn)規(guī)律就是發(fā)現(xiàn)一個(gè)“模式”。

如在一、二年級(jí):各種圖形按照邊數(shù)的變化、周期性的排列，按照顏色變化規(guī)律的排列，一年級(jí)下冊(cè):百數(shù)表中的規(guī)律，在百數(shù)表中除了可以探索數(shù)的排列規(guī)律(橫著、豎著、斜著)外，還可以進(jìn)一步探索每一行中相鄰的兩個(gè)數(shù)的規(guī)律、每一列中相鄰兩個(gè)數(shù)的規(guī)律，甚至每?jī)尚信c每?jī)闪邢噜徦膫€(gè)數(shù)之間的規(guī)律，這些規(guī)律中蘊(yùn)含著多種變化的模式。各冊(cè)教材中出現(xiàn)的找規(guī)律填數(shù)，也能讓學(xué)生體會(huì)簡(jiǎn)單數(shù)列排列的規(guī)律，而數(shù)列的本質(zhì)就是定義域在自然數(shù)集上的函數(shù)。

3.運(yùn)算性質(zhì)

在小學(xué)數(shù)學(xué)中，運(yùn)算是主要的內(nèi)容之一，各種運(yùn)算性質(zhì)中都滲透了函數(shù)思想。低年級(jí)主要借助計(jì)算表讓學(xué)生發(fā)現(xiàn)加法、減法、乘法口訣中的規(guī)律。高年級(jí)讓學(xué)生自己探索小數(shù)乘除法的運(yùn)算規(guī)律。

如:一年級(jí)上冊(cè)，10以內(nèi)的加法表，豎著看，學(xué)生可以發(fā)現(xiàn)在一個(gè)加數(shù)不變的條件下，和與另一個(gè)加數(shù)的變化是有規(guī)律的;橫著看可以發(fā)現(xiàn)，在和不變的條件下，另兩個(gè)加數(shù)都變，而且變化也是有規(guī)律的。二年級(jí)上冊(cè)，在乘法口訣的學(xué)習(xí)中就自然而然地對(duì)“乘法中的運(yùn)算規(guī)律”進(jìn)行了探索，乘法口訣的學(xué)習(xí)是一串一串的，學(xué)生很容易就發(fā)現(xiàn)“一個(gè)因數(shù)不變，積隨著另一個(gè)因數(shù)的變化而變化”的規(guī)律。五年級(jí)上冊(cè)，在小數(shù)乘法的學(xué)習(xí)中，學(xué)生從另一個(gè)角度領(lǐng)悟乘法運(yùn)算中的規(guī)律，即“一個(gè)因數(shù)不變時(shí)，另一個(gè)因數(shù)大于1時(shí)，積大于這個(gè)因數(shù);另一個(gè)因數(shù)小于1，積小于這個(gè)因數(shù);另一個(gè)數(shù)越接近1，積就越接近這個(gè)因數(shù)?！毙?shù)除法的學(xué)習(xí)中，學(xué)生不僅可以發(fā)現(xiàn)“除數(shù)小于1(且大于0)，商會(huì)大于被除數(shù);除數(shù)大于1，商小于被除數(shù);除數(shù)越接近1，商越接近被除數(shù)”的規(guī)律，而且會(huì)體會(huì)到，當(dāng)被除數(shù)不變時(shí)，除數(shù)縮小n倍，商反而擴(kuò)大n倍;當(dāng)除數(shù)不變時(shí)，被除數(shù)縮小n倍，商也縮小n倍。

4.計(jì)算公式

學(xué)生從三年級(jí)既學(xué)習(xí)長(zhǎng)、正方形的周長(zhǎng)公式開(kāi)始，又學(xué)習(xí)了長(zhǎng)、正方形面積公式;平行四邊形、三角形、梯形面積公式;長(zhǎng)、正方體表面積和體積公式;圓的面積周長(zhǎng)公式;圓柱的表面積體積公式;圓錐的體積公式。這些圖形的周長(zhǎng)、面積和體積公式實(shí)質(zhì)上都是用解析式表示的變量之間的函數(shù)關(guān)系式，如圓的周長(zhǎng)是半徑的一次函數(shù)C=2πr，圓面積則是半徑的二次函數(shù)S=πr2，長(zhǎng)方形的周長(zhǎng)和面積都是長(zhǎng)與寬的二元函數(shù)。另外，在解決實(shí)際問(wèn)題中出現(xiàn)的一些數(shù)量關(guān)系:如單價(jià)×數(shù)量=總價(jià);在單價(jià)不變的情況下，總價(jià)是數(shù)量的一次函數(shù)，這些計(jì)算公式給了學(xué)生對(duì)多元函數(shù)自變量與因變量之間關(guān)系的感受。

5.用字母表示數(shù)

變與不變是函數(shù)思想的重要內(nèi)涵，也是用字母表示數(shù)的價(jià)值所在，在例1中，當(dāng)揭示擺a個(gè)三角形需用小棒的根數(shù)是a×3后，教師可以問(wèn):在a×3這個(gè)式子中，誰(shuí)在變化、誰(shuí)沒(méi)有變?三角形的個(gè)數(shù)還可以用什么字母來(lái)表示?還可以用什么樣的算式表示小棒根數(shù)?讓學(xué)生體會(huì)同一個(gè)數(shù)量可以用不同的字母來(lái)表示。通過(guò)對(duì)例1和例2的比較，學(xué)生能感受同一字母在不同的情景中可以表示不同的數(shù)。在想想做做第三題中可以讓學(xué)生體會(huì):在同一題中不同的數(shù)要用不同的字母表示，經(jīng)過(guò)這三個(gè)環(huán)節(jié)的教學(xué)，在變與不變中滲透函數(shù)思想，體現(xiàn)用字母表示數(shù)的價(jià)值，為學(xué)生的進(jìn)一步學(xué)習(xí)打好基礎(chǔ)。

6.統(tǒng)計(jì)圖表

統(tǒng)計(jì)圖直觀地反映了數(shù)量的變化趨勢(shì)，折線統(tǒng)計(jì)圖在刻畫連續(xù)量時(shí)，比條形統(tǒng)計(jì)圖更全面、更直觀地反映了數(shù)量的整體性和變化性，因此折線統(tǒng)計(jì)圖可以看做是一種函數(shù)表達(dá)式是分段函數(shù)的特定的函數(shù)圖像。折線統(tǒng)計(jì)圖不僅可以反映數(shù)量增加的變化，可以通過(guò)折線的下降傾斜程度反映數(shù)量減少的變化，四年級(jí)教材中呈現(xiàn)的折線統(tǒng)計(jì)圖，讓學(xué)生對(duì)氣溫變化的情況變得直觀形象;教師也可以布置讓學(xué)生利用溫度計(jì)，從6∶30—18∶30每隔兩小時(shí)記錄一次溫度，并繪制成折線統(tǒng)計(jì)圖的作業(yè)，讓學(xué)生在操作的過(guò)程中體會(huì)數(shù)量的增減變化。

7.正反比例

正比例和反比例關(guān)系是最常見(jiàn)和最基本的函數(shù)關(guān)系，因此正比例和反比例是滲透函數(shù)思想的重要內(nèi)容，教材首先借助表格讓學(xué)生初步感知兩種相關(guān)聯(lián)的量和成正比例的量的含義，然后用字母表示數(shù)量，每個(gè)實(shí)例里都有兩個(gè)相關(guān)聯(lián)的量，分別是路程和時(shí)間或者總價(jià)與數(shù)量，兩個(gè)量的比的比值分別是速度和單價(jià)，用字母x和y表示兩種相關(guān)聯(lián)的量，用k表示它們的比值，然后把路程/時(shí)間=速度(一定)、總價(jià)/數(shù)量=單價(jià)(一定)表示成y/x=k(一定)，并指出正比例關(guān)系可以用這個(gè)字母式子表示，最后用圖像直觀表達(dá)正比例關(guān)系。例2是按照《全日制義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(實(shí)驗(yàn)稿)》的要求“根據(jù)給出的有正比例關(guān)系的數(shù)據(jù)在有坐標(biāo)系的方格紙上畫圖，并根據(jù)其中一個(gè)量的值估計(jì)另一個(gè)量的值”編排的，雖然圖像與真正的函數(shù)圖像有一些差別，如只有第一象限的圖像，橫軸與縱軸的單位長(zhǎng)度不統(tǒng)一，但學(xué)生仍可以初步感受到成正比例的兩個(gè)量的變化是連續(xù)的，因此這些并不影響學(xué)生借助圖像體驗(yàn)變量間的關(guān)系。反比例的教學(xué)首先也是以表格的形式呈現(xiàn)，并用語(yǔ)言描述，然后用解析式表示，最后用圖像表達(dá)，綜合運(yùn)用函數(shù)的四種表示方法，使學(xué)生對(duì)函數(shù)有了更深入的了解。

小學(xué)數(shù)學(xué)中滲透的函數(shù)內(nèi)容注重對(duì)函數(shù)思想的多角度理解，在第一學(xué)段，主要是以圖像、表格的形式滲透函數(shù)思想，在第二學(xué)段，學(xué)生掌握了長(zhǎng)方形，平行四邊形等圖形的計(jì)算公式，掌握了一些解決實(shí)際問(wèn)題的數(shù)量關(guān)系，這些計(jì)算公式實(shí)際上就是一些簡(jiǎn)單的函數(shù)解析式。到了六年級(jí)，正、反比例的意義是滲透函數(shù)思想的重要內(nèi)容，教材首先借助表格直觀地呈現(xiàn)兩個(gè)變量之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系，接著用語(yǔ)言解釋其含義，最后用代數(shù)式來(lái)表示，使得直觀圖形—代數(shù)式—語(yǔ)言描述三者之間有機(jī)結(jié)合，使學(xué)生對(duì)函數(shù)有了一個(gè)系統(tǒng)地認(rèn)識(shí)?？傊?，函數(shù)思想的滲透是隨著學(xué)生已有知識(shí)經(jīng)驗(yàn)的積累、能力的提高逐步加深的。

《全日制義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(實(shí)驗(yàn)稿)》在總目標(biāo)中提出:獲得適應(yīng)未來(lái)社會(huì)生活和進(jìn)一步發(fā)展所必需的重要數(shù)學(xué)知識(shí)(包括數(shù)學(xué)事實(shí)、數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn))以及基本的數(shù)學(xué)思想方法和必要的應(yīng)用技能。因此在小學(xué)階段滲透函數(shù)思想，是實(shí)現(xiàn)義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程總體目標(biāo)的需要，但由于函數(shù)的抽象性與小學(xué)生思維發(fā)展的直觀性之間的矛盾，教師在教學(xué)中應(yīng)抓好契機(jī)，把握滲透的可行性，根據(jù)知識(shí)的內(nèi)在聯(lián)系與遷移規(guī)律，從聯(lián)系、發(fā)展的角度分析與處理教材，做一些有利于知識(shí)銜接的滲透，主要是讓學(xué)生體驗(yàn)函數(shù)思想，而不宜提出過(guò)高的要求。

參考文獻(xiàn):

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