數學中的辯證法

要真正掌握好“數學辯證法”，僅僅知道一些數學知識還是遠遠不夠的，還必須善于發現各種數學結構、數學運算之間的關系，建立和運用它們之間的聯系和轉化。唯其如此，才能發揮出蘊藏在數學中的辯證思維的力量。數學中許多計算方法之靈巧，證明方法之美妙，究其思路，往往就是綜合利用了各種關系并對他們進行過適宜的轉化而成的。這類事例在數學中比比皆是。

1.事物是發展變化的，矛盾是事物發展的源泉和動力

這一原理在數的概念的發展過程中體現得淋漓盡致:剛入學的小學生首先接觸的是非負整數，然而在非負整數范圍內，減法運算受到限制，于是引入了負數，擴展到整數;在整數范圍內，除法運算受到限制，于是引入分數，擴展到有理數;在有理數范圍內，出現了開方開不盡的問題，于是初中數學引入了無理數，擴展到實數;在實數范圍內負數不能開偶次方，于是高中數學引入了虛數，擴展到復數。數的概念的每一次擴展，無一不是解決矛盾的過程。

2.對立統一規律

在數學中的六種運算上:加法與減法本是對立的，但“減去一個數等于加上這個數的相反數，加上一個數等于減去這個數的相反數”把兩種運算合二為一;乘法與除法本是對立的，但“除以一個數等于乘以這個數的倒數，乘以一個數等于除以這個數的倒數”把乘法與除法合二為一;分數指數冪的引入，把乘方與開方兩種對立的運算合二為一;而引進對數后，乘方、開方統一于乘、除，乘、除都統一于加法。另外這一規律在橢圓和雙曲線上也有充分體現:“平面內與兩個定點F、F距離之和等于常數(大于|FF|)的點的軌跡叫做橢圓”;“平面內與兩個定點F、F距離的差的絕對值等于常數(小于 |FF|)的點的軌跡叫做雙曲線”。這兩個概念形式上是對立的，本質上卻又可統一為“平面內與定點F和一條定直線l的距離之比為常數的點的軌跡”。又如三角形內角和是180°，四邊形內角和是360°，……n邊形內角和是(n-2)×180°。如果看外角呢?三角形外角和是360°，四邊形外角和是360°，……，n邊形外角和是360°。這就把多種情況用一個十分簡單的結論統一起來了。

3.事物的相互聯系構成運動

以梯形的面積公式(其中a為梯形的上底，b為梯形的下底，h為梯形的高)為例加以說明:當a=0時，就變成了三角形的面積公式;當a=b時，就變成了平行四邊形的面積公式;進而還可以推出矩形的面積公式和正方形的面積公式，這些都體現出了事物的相互聯系，同時呈現出一種運動狀態。另外，圓錐曲線的統一定義“平面內與定點F和一條定直線l的距離之比為常數e的點的軌跡”中，e的變化決定著曲線的形狀，當01時，是雙曲線，這仍然是這一觀點的體現。

4.質量互變規律

量變和質變是事物變化的兩種形式或兩種狀態。量變就是事物量的變化，即數量的增減和場所的變動。質變就是事物性質的變化，是由一種質態向另一種質態的轉變。量變和質變的關系是辯證的，是對立的統一。量的分割達到一定的程度，就產生了不同質的物質體。恩格斯曾經說過:“純粹的量的分割是有一個極限的，到了這個極限它就轉化為質的差別。”

例如:利用圓內接正多邊形的面積求圓的面積。當多邊形的邊數無限增加時，多邊形的面積和圓的面積越來越接近。要完成這種從多邊形到圓的過渡，就要求人們在觀念上，在思考方法上要有一個突破。這里的困難就在于多邊形的周界是一些直線段，而圓的周界是處處彎曲的，即面臨著“曲”與“直”這樣一對矛盾，唯物辯證法認為，在一定條件下，曲與直的矛盾可以互相轉化。

5.否定之否定規律

數學中的反證法是一種重要的證明方法，實質上就是一種逆向思維方法，體現了辯證法的否定之否定規律。這里應當提到的是，數學中的否定之否定不能簡單地、狹義地僅僅理解為負負得正或非非為是，其本質涵義為在克服與保留中循環發展，在繼承與突破中螺旋上升。如指數概念在否定之否定(繼承、發展、螺旋上升)中從正整指數擴充到零指數、負整指數、分指數、負分指數、實數指數、復數指數。

恩格斯說:“數學，辯證的輔助工具和表現形式。”在數學中到處都有著辯證法思想的存在，因此在數學教學中，我們應注意用辯證的觀點來闡述問題，對學生進行辯證唯物主義思想教育，加強辯證思維能力培養，從而完善學生的思維結構，優化學生的思維品質，提高學生的綜合素質。這不僅有利于學生對數學知識的深刻理解和對數學方法的熟練掌握，而且有助于他們認識自然，認識社會，認識人生，使之形成良好的思維品質和科學的世界觀。