建構數學模型是小學數學課堂的首要任務

摘 要: 小學數學課堂建構數學模型，是小學數學課程標準的要求，是數學工具性的的具體體現，是培養學生探索精神、創新精神的需要。本文闡述了構建數學模型的本質特征及其意義方法，意義在于培養學生主動參與、親身實踐、獨立思考、合作探究，發展學生搜集和處理信息的能力，以及交流與合作的能力。

關鍵詞: 小學數學課堂建構 數學模型 任務

數學課程標準在學習內容上，安排了“數與代數”、“空間與圖形”、“統計與概率”“實踐與綜合應用”四塊學習領域，強調學生的數學活動，發展學生的數感、符號感、空間觀念，以及應用意識與推理的能力。這些內容中最重要的部分，就是數學模型。所謂數學模型指的是對數學知識進行簡化和提煉、再通過數學語言、符號或圖形等形式對其進行概括與歸納、描述、反映特定的問題或具體事物之間關系的數學結構。在小學階段，數學模型的表現形式為一系列的概念系統、算法系統、關系、定律、公理系統等。在教學過程中，許多教師都在有意識或無意識地建構數學模型，學生也在有意識或無意識地建構數學模型、對數學模型的建構，理解和把握成為提高課堂教學效率的重要因素。

一、構建數學模型體現了數學教學的本質特征。

1.在小學階段，數學模型的表現形式為一系列的概念系統、算法系統、關系、定律、公理系統等，這些都是學生學習的重要內容。可以這樣說，學生學習數學知識的過程，實際上是對一系列數學模型的理解、把握過程。例如，在小學數學中，幾何初步知識很重要的一塊內容是多邊形的面積，平行四邊形、三角形、梯形的面積公式，需要教師引導學生剪一剪、拼一拼，架起新舊知識連接的橋梁，從而推導出相應的面積公式。學生自己建立了相關的數學模型，獲得了建立這些模型的方法，就為進一步學習奠定了基礎。同樣，概念系統和算法系統本身是重要的數學模型，又是構建其他數學模型的基礎，學生對這些知識的把握是至關重要的。所以說，構建并把握好以上模型，正是把握住了數學學習的根本。

2.學生在探索、獲得數學模型的過程中，也同時獲得了構建數學模型、解決實際問題的思想、程序與方法，而這對學生的發展來說，其意義遠大于僅僅獲得某些數學知識。研究數學問題的模式，可以表征為:抽象—符號—應用。荷蘭數學家弗賴登塔爾把這個過程稱之為“數學化”。數學化的過程，正是學生學會學習的過程，也是學生獲得發展性學力的過程。

二、數學模型是建立在數學一般的基礎知識與應用數學知識之間的一座重要的橋梁。

構建數學模型的過程，就是指從數學的角度發現問題、展開思考，通過新舊知識間的轉化過程，歸結為一類已經解決或較易解決的問題中去，再綜合運用已有的數學知識與技能解決這一類問題。這是在平時的數學教學中，教師應該著重培養學生所具備的一種數學思想和方法，就是將數學理論知識應用于實際問題的思想和方法。構建模型更為重要的是強調用真實的情景展示問題，營造解決問題的環境，以幫助學生在解決問題的過程中活化知識，變事實性知識為解決問題的工具。學生在探索、獲得數學模型的過程中，能同時獲得建構數學模型、解決實際問題的思想與方法，而這對學生的發展來說，其意義遠大于僅僅獲得某些數學知識。

三、構建數學模型是數學研究性學習的有效形式。

傳統教學重視純知識的教學，忽視能力的培養;重視書本知識和技能的訓練，忽視社會實踐能力的培養;重視學科課程的教學，忽視活動課程的開發;學生所學知識與實際應用之間嚴重脫節，對問題解決的方法習慣于單一化，靈活性多樣性不夠，對復雜的變化因素不能夠準確深刻地把握，抑制思維，不利于培養創新精神和實踐能力。構建和處理數學模型的過程，就是將數學理論知識應用于實際問題的過程。在構建模型，形成新的數學知識的過程中，學生能更加體會到數學與大自然和社會的聯系，讓學生從現實問題情景中學數學、做數學、用數學。只有這樣，數學教學中的“問題解決”才有了相應的環境與氛圍。構建數學模型，研究數學模型，正是問題解決過程中的中心環節，是決定問題解決程度如何的關鍵。

四、建構數學模型的方法

1.建構數學模型應該讓學生大膽地去猜想，再在直觀的事例中進行具體的分析。

猜想是一種帶有一定直覺性的比較高級的思維方式，對于探索或發現性學習來說，猜想是一種非常重要的思維方法。在教學生一些數學定理之前，我們不妨讓他們根據已有的知識大膽地去猜想一下這個定理。例如:在學生在掌握了長方形、正方形、平行四邊形、三角形等平面圖形面積計算的推導過程和計算方法之后，在教學梯形的面積計算時，教師可以讓學生大膽地猜想一下它的面積計算可能會和誰有關，根據以往所學的知識，學生應該會想到轉化的數學思想，推測出可能會與平行四邊形的面積計算有關，再讓學生從教師所提供的各種各樣的梯形材料中進行研究，從直觀的圖形中開展具體地分析，從而找出其內在的聯系與規律，最終得出結論。

2.建構數學模型應該讓學生在許多直觀或貼近生活的實例中進行有效的綜合比較。

綜合是指學生在學習的過程中將數學現象、數學實例的分析情況進行整理組合，從而形成對這一類數學知識的總體認識。比較是對有關的數學現象、數學實例，區別它們的相同之處和不同之處。數學中的比較是多方面的，包括多少與大小的比較，相同與不同的比較，結構與關系的比較，定律與性質的比較，等等。比較的目的是認識事物的聯系與區別，明確彼此之間存在的同一性與相似性，一邊解釋其背后的共同模型。例如:在教學《生活中的百分率》時，我先由死海的含鹽率引出，再給出許多相關的實例，比如:出勤率、合格率、成活率、及格率、發芽率、出粉率等。學生通過綜合得出以上這些都是生活中的百分率，都是求部分量占總量的百分之幾。再通過比較得出雖然都是百分率，也各有各的不同，含鹽率是指鹽的重量占鹽水重量的百分之幾，而出勤率則是指實際出勤的人數占應出勤總人數的百分之幾。

3.建構數學模型應該讓學生從具體的實例中抽象出它們所具有的共性，再用數學的語言或符號等進行概括。

抽象是從許多數學實例或數學現象中，發現其共同的本質特點。而概括則是把抽象出來的共同點用數學的語言或符號等形式進行歸納和總結。例如:在教學分數與除法之間的關系，通過大量的實例使學生從中抽象出它們的共性是:被除數÷除數=被除數/除數，最終用數學符號概括出:a÷b=a/b(b≠0)的結論。

4.建構數學模型一定要讓學生進行充分地驗證，得出結論之后再進行有效的應用。

在學生初步得出結論時，教師要給予足夠的空間讓學生進行充分地驗證，在驗證的過程中可能會發現新的現象，并在解決新問題的過程中，進一步完善自己的猜想，最終發現規律得出結論，并運用這個規律解決更多的實際問題。這不僅是一個主動學習的過程，而且是發現學習、創新學習的過程。例如:在教學三角形面積時，學生用兩個完全一樣的銳角三角形拼成了一個平行四邊形，并通過分析、抽象、概括出了之間的規律。這時我提出:那直角三角形或鈍角三角形是不是也是這樣呢?學生再通過充分的操作進行驗證，從而得出只要是兩個完全相同的三角形就能拼成一個平行四邊形，都具備以上的規律。同時學生還發現兩個直角三角形拼成的不僅是平行四邊形，而且是一個長方形，兩個等腰直角三角形拼成的不僅是一個長方形，而且是一個特殊的長方形，即正方形。