解幾中參變量取值范圍問題的解題策略

解析幾何中參變量取值范圍問題涉及解幾、函數、不等式、向量、平面幾何等各知識點，綜合性強，運算較繁瑣，并且確定參變量取值范圍的不等關系較為隱蔽，難度較高，在高考中多有出現，必須加強歸納與總結。下面我從如何尋找或挖掘不等量關系的角度來談解這類問題的策略。

一、圓錐曲線的標準方程型

例1:若方程+=-1表示橢圓，求實數k的取值范圍。

簡解:運用圓錐曲線的定義建立不等式組5-k>k-3>0k-5≠3-k，可得k<-或

同類題:若方程xsinα-ycosα=1(0≤α<2π)表示雙曲線，求α的取值范圍。(答案:(0，)∪(π，))

解題策略:這類題目一般注意圓錐曲線的定義，以及方程的形式直接建立不等式(或不等式組)。

二、已知參數范圍型

例2:長為3的線段AB的兩個端點在拋物線y=x上移動，若直線AB在y軸上截距b的取值范圍是[，]，試求直線AB傾斜角α的取值范圍。

簡解:設AB方程為y=kx+b，聯立方程組y=kx+by=x得:x-kx-b=0，由弦長公式得9=(1+k)(k+4b)，4b=，根據b∈[，]，解得k∈[-1，1]，進一步求得傾斜角α∈[0，]∪[，π)。

同類題:已知雙曲線C:(1-a)x+ay=a(a>1)的頂點為A，且C的上支交直線y=-x于點P，以點A為焦點，M(0，m)為頂點，開口向下的拋物線過點P，設PM的斜率為k，k∈[，]，求a的取值范圍。(答案:[2，3])

解題策略:這類題明確給出了一個變量(如例1中b)的范圍，解題中關鍵尋求到所求變量(如k)與已知范圍變量(b)的等量關系后解關于所求變量(k=tanα)的不等式，便可得解。

三、運用圓錐曲線的變化范圍型

例3:橢圓C:+=1(a>b>0)的長軸兩端點是A、B，若C上存在點P使∠APB=120°，求橢圓C的離心率e的變化范圍。

簡解:根據橢圓的對稱性不妨設點P(x，y)(0≤x

同類題:使拋物線C:y=ax-1(a≠0)上總有不同的兩點關于直線l:x+y=0對稱，試求實數a的取值范圍。(本題有多種解法，這里可先設點，運用點差法和對稱性得到這兩點的中點P(，-)，再根據P在拋物線C的內部建立不等式->a()-1)，解得a>。)

解題策略:這類題不像類型一、二一樣很容易尋找到不等關系，但是我們不難尋找到某個特征點，并發現這個點是在圓錐曲線的某個區域內運動的，此時有效利用曲線的橫(縱)坐標的取值范圍建立不等式求解。問題的關鍵在于特征點的運動范圍及消去新引進參數(一般為特征點的橫或縱坐標)的恒等變形。

相關知識點:點P(x，y)在曲線內部:①橢圓內部+<1，②雙曲線內部->1，③拋物線內部y<2px，反之不等號反向。

四、直線與圓錐曲線的位置關系型

例4:已知橢圓的一個頂點為A(0，-1)，焦點在x軸上，且右焦點到直線x-y+2=0的距離為3，若縱截距為b的直線L與該橢圓交于不同的兩點M、N，當|AM|=|AN|時，求實數b的取值范圍。

簡解:易得橢圓的方程為+y=1，設直線L的方程為y=kx+b，兩方程聯立得:(1+3k)x+6kbx+3(b-1)=0，由△>0得3k-b+1>0……(1)，設M(x，y)，N(x，y)，中點P(x，y)則x==-y=kx+b=。又因為AP⊥MN，可得=-(k≠0時)，整理得3k+1=2b……(2)。將(2)代入(1)得0

解答說明:本題在解答過程中對k的討論容易被遺漏，在這里可采用向量法即由AP⊥MN，用AP#8226;MN=0得式k(3k+b+1)=3kb可分類論順理成章，避免遺漏。

同類題:過雙曲線C:-=1(a>0，b>0)的右焦點F作雙曲線斜率大于0的漸近線的垂線L，垂足為P。設L與C的左、右兩支分別交于A、B兩點，求雙曲線C的離心率e的變化范圍。(答案:e>)

解題策略:這類題只要抓住兩點:一是從直線與圓錐曲線的位置關系出發，聯立方程，將題設中給出的直線與圓錐曲線的位置關系轉化為一元二次方程根的存在條件，列出相關變量的不等式(或組);二是依據題設中的另外條件(如例3中的|AM|=|AN|)建立一個關于兩個相關變量的等式，代入前不等式(或組)消去引入的新參數，解關于所求變量的不等式即可得解。

五、挖掘圖形中的不等關系型

例5:雙曲線-=1(a>0，b>0)的左右焦點為F、F，左準線為L，P為雙曲線左半支上一點，并且有|PF|是P到L的距離d與|PF|的比例中項，求雙曲線的離心率e的取值范圍。

簡解:

易得|PF|=d|PF|，由雙曲線第二定義=e與雙曲線的性質得|PF|e=|PF||PF|-|PF|=2a，解得|PF|=|PF|=，借助圖形在△PFF中有|PF|+|PF|>|FF|，將前式結果代入得+≥2c，解關于e的不等式得1

解答說明:本題有很多思路，思路一:設P點坐標為(x，y)，用距離公式和點P在曲線上得(x+c)+y=(-x)，-=1，消去y，對所得的式子用x≤-a求解;思路二:用簡解中的結果列等量關系=(-x)，變形后用x≤-a求解。這兩種方法都是想利用類型二的圓錐曲線的變化范圍來做，用思路一很難解出來，思路二較為簡便，但用本例中的直接挖掘圖形的不等關系更簡潔巧妙。

同類題:已知雙曲線-=1(a>0，b>0)的左、右焦點分別為F、F，點P在雙曲線的右支上，且|PF|=4|PF|，則此雙曲線的離心率e的最大值為(B)。

A.B.C.2D.

解題策略:這類題要注意觀察題設圖形中隱含的不等關系，特別是結合圓錐曲線的第一、第二定義及動點在圓錐曲線上的運動范圍，用三角形三邊之間的關系式建立不等關系(因為可共線一般要取到等號)，起到簡化運算的作用，不失為妙法。

六、利用實數的非負性型

例6:求以x+2=0為準線，離心率e=，過定點M(1，0)的橢圓的長軸的取值范圍。

簡解:可設橢圓方程為+=1(a>b>0)……(1)，由e==，得b=a……(2)，將x=1y=0和(2)式代入(1)得+=1……(3)，再根據中心到準線的距離=x+2得x=-2……(4)，代入(3)得+=1，整理得y=a[1-]=a-(-3)，因為y≥0，建立不等式a-(-3)≥0，變形為a-4a+3≤0，解得2a∈[2，6]。

解答說明:本題中橢圓的具體位置不確定，依據題設條件逐步消參后得到關于y、a的關系式，而由于位置的不確定性，y的范圍只是由實數的非負性限定在[0，∞)，從而建立關于a的不等式求解。

解題策略:這類題目解題策略和類型二類似即依據題設條件逐步消參，最后得到所求變量(如a)與某個相關變量(如y)的關系式，但與例2中的已知相關變量的范圍和例3中的圓錐曲線自身變化范圍不同的是，這個相關變量(如y)因為曲線位置的不確定，只能由它的實數的性質來確定范圍，建立不等式。

各類型的解題策略靈活多變，但又有規律可循，在解題中多有體現。