讓數學實驗走進高職數學課堂

1.什么是數學實驗

隨著科學技術的不斷發展進步，計算機技術和數學軟件引入教學后，使數學知識在各個領域都能得到應用，數學的地位也發生著巨大變化。正像馬克思所說:“一門科學，只有當它成功地運用數學時，才能達到完善的地步。”航天飛機的準確發射和成功返回就是通過數學模型和方法借助計算機的計算和控制來實現的，事先需要進行大量的模擬，這說明數學不僅能搞實驗，而且內容是非常豐富和實際的。數學實驗目前盡管還沒有一個比較確切的定義，開展數學實驗的教學模式也不確定，但開設數學實驗課的目的是明確的。因此，數學實驗其實就是:根據實際提出問題的特點和要求，經過正確的分析后作出合理的假設，將實際問題抽象為數學問題，運用數學知識建立起數學模型，通過計算機計算，得出理想的結果，即將實際問題、數學模型和計算機有機結合在一起的過程，稱為數學實驗。

2.開設數學實驗的目標

高職高專教育應該以就業為導向，堅持基礎理論教學以“必需、夠用”為原則，加強學生生產實踐教學。根據高職高專培養目標的要求，在高等數學教學過程中，我們應遵循高職高專教育“以應用為目的，以必需、夠用為度”和“掌握概念，強化應用”的基本原則。為此，我們對高等數學課程的教學模式進行改革探索，打破了傳統的教學模式，采用“模塊+案例+實驗”的模式，以培養應用能力為中心，從而達到培養目標的要求。改革后的教學要實現傳授知識和發展能力兩方面的教學目的，能力培養要貫穿教學全過程。教師應培養學生具有比較熟練的基本運算能力、自學能力、綜合運用所學知識去分析問題和解決問題的能力。教學重點要放在“掌握概念，強化應用，培養技能”上，讓學生學會獨立使用各種先進的計算工具和信息傳播技術，來探索解決一些典型數學問題的方法。在教師的指導下，學生動腦又動手，并使用教學軟件和編程技術，解決實踐中提出的問題，師生共同實現教學的總體化目標。

3.數學實驗的發展和特點[1]

計算機技術的迅速發展，出現了大量的智能化計算工具軟件，特別是出現了一系列高性能的數學軟件包(如Mathematicas、Matlab、Maple Mathcad、Sas、Lingo等)，它不僅保持了數值計算功能，而且進一步開發了符號運算的功能。例如它能準確地進行代數運算、求微分、求積分、求解方程組及統計分析、數據擬合、求解線性規劃等;它的圖形功能(包括動畫制作)令人驚嘆不已，使抽象的數學在一定程度上變成可以看得見的富于直觀形象，更加啟迪人們思想的“可視化數學”;它的高效編程功能，猶如在一張演算紙上書寫公式和求解，語法規則簡潔明了，更貼近人的思維方式。

它易學易用，不要求使用者具有高深的數學知識，不需要理解公式的證明和推導，不需要學習程序語言知識，也不需要實用者預先進行算法設計和編程技巧訓練，只要你將數學公式按它的語言規則輸入計算機，即能如你所愿那樣給出該問題的相應解。

數學實驗就是讓學生使用數學軟件進行數值計算、微分運算、數值積分、常微分方程的數值解、代數方程組求解、矩陣運算、統計與數據分析和函數繪圖等。同時也可以通過數學實驗，訓練學生使用數學軟件進行建模、仿真、計算及結果分析等。這是一種“問題解答式與親自動手式”教學方式。

4.數學實驗的具體操作

目前，開展數學實驗通常采用以下數學軟件包為實驗平臺。

(1)Mathematica(軟件包)實驗平臺;

(2)MATLAB(軟件包)實驗平臺;

(3)Mathcad(軟件包)實驗平臺。

在具體的實驗操作中，我校采用MATLAB(軟件包)實驗平臺。

(1)在計算方面，利用MATLAB可計算定積分:

定積分?蘩f(x)dx的數值計算命令為quad(?搖)。使用該命令時需定義被積函數，使用格式為quad(f，a，b)。其中，f為所定義的被積函數名，a和b分別為積分下限和積分上限。

例:數值計算求定積分?蘩dx的值。

首先用命令inline(?搖)定義被積函數f(x)=，然后用命令quad(?搖)計算定積分值。注意:為了避免當x=0時，被積函數分母為零發生錯誤，用數eps(MATLAB中的一個非常小的常數)代替積分下限零。命令如下:

f=inline(′x.^3./(exp(x)-1)′)

quad(f，eps，5)

兩條命令執行后，MATLAB的命令窗口將顯示數據ans=4.8999，所以?蘩dx≈4.8999。

注意事項:使用inline(?搖)定義被積函數時方冪運算符(^)和除法運算符(/)前一定要加點，即使用“.^”和“./”。

(2)在數據擬合方面，利用MATLAB作人口預測:

據統計，上世紀六十年代世界人口數據如下(單位:億):

根據表中數據，預測公元2000年世界人口會超過60億。作出這一預測結果所用的方法就是數據擬合方法。

據人口增長的統計資料和人口理論，當人口總數N不是很大時，在不長的時期內，人口增長率與人口數N成正比，這就是著名的馬爾薩斯人口模型，用微分方程描述為:=bN。

其中，b為人口增長系數。用分離變量法解常微分方程，得ln N=bt+a，即N(t)=ea+bt。

由此可知，馬爾薩斯模型是人口數量按指數函數遞增的模型。由于指數函數表達式中a和b均未知，需要用人口數據來確定。即用指數函數對數據進行擬合，確定指數函數中參數使指數函數與人口數據偏差(殘差平方和)盡可能小。下圖是經數所擬合后的指數函數圖形與原始數據散點圖的對比，殘差平方和為3.6974×10。

為了計算方便，將上式兩邊同取對數，還原為ln N=a+bt，令y=ln N或N=ey。

變換后的擬合函數為:y(t)=a+bt。

由人口數據取對數(y=ln N)計算，得下表:

開設數學實驗課是教育適應社會的需要，是培養實踐型、應用型人才的需要，是辦有特色學校的需要，在學校各級領導的大力支持下，數學實驗課的開設將在學校教學改革中起到積極的作用。

參考文獻:

[1]樹鐵主編數學實驗.高等教育出版社，2003.

[2]李尚志等.數學實驗.高等教育出版社，2003.

[3]薛定宇，陳陽泉.高等應用數學問題的MATLAB求解.清華大學出版社，2004.