初中數(shù)學(xué)概念教學(xué)與APOS理論運(yùn)用

摘要：APOS理論是近年來(lái)美國(guó)數(shù)學(xué)教育家杜賓斯基提出的一種建構(gòu)主義學(xué)說(shuō)。他將數(shù)學(xué)概念的建立分為：活動(dòng)，過(guò)程，對(duì)象，圖式四個(gè)階段，并用于指導(dǎo)教學(xué)實(shí)踐。本文主要對(duì)該理論的認(rèn)識(shí)和在數(shù)學(xué)概念教學(xué)實(shí)踐中的應(yīng)用作了一點(diǎn)嘗試。

關(guān)鍵詞：APOS；活動(dòng)；過(guò)程；對(duì)象；圖式階段

中圖分類(lèi)號(hào)：G623.5 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A 文章編號(hào)：1006-3315(2011)2-025-002

一、傳統(tǒng)教學(xué)觀念與APOS理論

世界著名教育家夸美紐斯在提出班級(jí)授課制的教學(xué)組織形式時(shí)，曾有這樣一種教育理想：“找出一種教育方法，使教師因此可以少教，但是學(xué)生可以多學(xué)。”為了讓教學(xué)過(guò)程簡(jiǎn)明，學(xué)生可以比較直接地學(xué)習(xí)概念、節(jié)省時(shí)間，教師常常采用“屬＋種差”的概念同化方式進(jìn)行教學(xué)。其步驟大致為：(1)揭示概念的本質(zhì)屬性，給出定義、名稱(chēng)和符號(hào)；(2)對(duì)概念進(jìn)行特殊分類(lèi)，提示概念的外延；(3)鞏固概念，利用概念的定義進(jìn)行簡(jiǎn)單的識(shí)別活動(dòng)；(4)概念的應(yīng)用與聯(lián)系，用概念解決問(wèn)題，并建立所學(xué)概念與其它概念間的聯(lián)系。這種教學(xué)模式往往是由教師代替學(xué)生快體驗(yàn)、快抽象出數(shù)學(xué)概念，并且僅僅從形式上做邏輯分析讓學(xué)生理解概念。然而，這在概念教學(xué)中，過(guò)快的抽象過(guò)程使得只有一少部分學(xué)生進(jìn)行有意義的學(xué)習(xí)，難以引發(fā)全體學(xué)生的學(xué)習(xí)活動(dòng)，大部分學(xué)生理解不了數(shù)學(xué)概念只靠死記硬背，即使能跟隨教師進(jìn)行有意義學(xué)習(xí)的學(xué)生其學(xué)習(xí)活動(dòng)也是不連貫的，建構(gòu)的概念缺乏完整性。

近年來(lái)，美國(guó)的杜賓斯基等人在數(shù)學(xué)教育研究實(shí)踐中發(fā)展起來(lái)一種APOS理論，對(duì)數(shù)學(xué)概念的學(xué)習(xí)過(guò)程進(jìn)行解釋。杜賓斯基認(rèn)為，學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)概念要經(jīng)歷操作(Action)、過(guò)程(Prooess)、對(duì)象(Object)、圖式(scheme)四個(gè)階段，取這四個(gè)階段英文單詞的第一個(gè)字母，定名為APOS理論模型。APOS理論集中于對(duì)特定的數(shù)學(xué)概念學(xué)習(xí)過(guò)程的研究，對(duì)數(shù)學(xué)概念所特有的思維形式“過(guò)程和對(duì)象的雙重性”做出了切實(shí)分析，它揭示了數(shù)學(xué)概念學(xué)習(xí)的本質(zhì)，它是解釋數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)心理活動(dòng)的核心概念和概念框架。

APOS理論的四個(gè)階段是循序漸進(jìn)的。它反映了學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)概念過(guò)程中真實(shí)的思維過(guò)程，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)知識(shí)形成的規(guī)律性，而在教學(xué)方面體現(xiàn)了一種教學(xué)規(guī)律，為教師如何進(jìn)行數(shù)學(xué)教學(xué)提供了一種具體而實(shí)用的教學(xué)策略。它的最大優(yōu)點(diǎn)是增加了“活動(dòng)”階段，讓學(xué)生對(duì)概念的形成過(guò)程有一個(gè)充分體驗(yàn)，知其產(chǎn)生的現(xiàn)實(shí)背景和豐富寓意。通過(guò)“活動(dòng)”喚起學(xué)生的興趣，啟發(fā)他們通過(guò)親身體驗(yàn)主動(dòng)尋找和建立數(shù)學(xué)概念、法則和技巧，全面理解一個(gè)數(shù)學(xué)概念，準(zhǔn)確把握一個(gè)數(shù)學(xué)概念的本質(zhì)。

二、APOS理論在數(shù)學(xué)概念教學(xué)中的運(yùn)用

APOS理論當(dāng)中的活動(dòng)階段相當(dāng)于觀察、呈現(xiàn)數(shù)學(xué)概念的具體實(shí)體階段，通過(guò)活動(dòng)讓學(xué)生親身體驗(yàn)、感受直觀背景和概念間的關(guān)系。過(guò)程階段則是學(xué)生對(duì)具體實(shí)體進(jìn)行思維概括并描述得出數(shù)學(xué)概念的階段。但要對(duì)概念有真正的理解，要使數(shù)學(xué)概念真正在學(xué)生頭腦中建立起來(lái)，還必須上升到對(duì)象、圖式階段。對(duì)象階段即是將概念作為一個(gè)已知對(duì)象應(yīng)用到它生存的土壤或背景中，并將它作為一個(gè)工具，在以后的學(xué)習(xí)中以此為對(duì)象進(jìn)行新的活動(dòng)。對(duì)象階段過(guò)后，概念建立還要進(jìn)人圖式階段，能夠區(qū)分、評(píng)價(jià)此概念與彼概念，這時(shí)概念以一種完整的心理圖式儲(chǔ)存于學(xué)生的大腦當(dāng)中，其中包括具體的實(shí)例、抽象的過(guò)程，完整的定義及與其他概念的區(qū)分與聯(lián)系等等。APOS理論的四個(gè)階段是循序漸進(jìn)，逐級(jí)升華、抽象，不斷地形式化，最后完成數(shù)學(xué)概念的建立。

下面是本人在教學(xué)《平面直角坐標(biāo)系》的實(shí)踐中運(yùn)用APOS理論進(jìn)行教學(xué)的一點(diǎn)嘗試。考慮到八年級(jí)學(xué)生思維還處于由形象思維向抽象思維的過(guò)渡階段，從一維的數(shù)軸轉(zhuǎn)向二維的平面直角坐標(biāo)系是學(xué)生認(rèn)識(shí)上的一次跨越，因此設(shè)計(jì)教案時(shí)力圖突破這種跨越。

1.創(chuàng)設(shè)情境，使學(xué)生在“活動(dòng)”中思考問(wèn)題

創(chuàng)設(shè)“找位置”的問(wèn)題情景，開(kāi)展活動(dòng)過(guò)程。師：同學(xué)們，你們走進(jìn)教室后，是怎樣找到自己的座位的?生1：我的座位在第3行第5列。師：很好!其他同學(xué)還有什么想法?生2：我從教室前門(mén)先橫走3排再豎走4排，能找到自己的坐位。師：可行的!下面我發(fā)給每一位同學(xué)一張地圖，請(qǐng)大家仔細(xì)觀察地圖并回答問(wèn)題：(1)向你的同桌描述建筑物A(動(dòng)物園)、B(青少年宮)、C(電影院)的位置；(2)假設(shè)你在另一處D(學(xué)校)，你將怎樣找到A、B、C?結(jié)合學(xué)生的生活經(jīng)驗(yàn)，創(chuàng)造適合學(xué)生思考與想象的環(huán)境，給予學(xué)生充分表達(dá)自己看法的機(jī)會(huì)，讓他們?cè)谧灾魉伎肌⒆杂山涣髦校谂c同學(xué)觀點(diǎn)交鋒中，撞擊出思維的火花!

2.通過(guò)活動(dòng)，讓學(xué)生經(jīng)歷思維概括“過(guò)程”

通過(guò)“找位置”的活動(dòng)，讓學(xué)生親身經(jīng)歷在找位置的時(shí)候所經(jīng)歷的一切過(guò)程，體驗(yàn)“直角坐標(biāo)系”這一概念形成的成因。老師在聽(tīng)取學(xué)生的看法后，因勢(shì)利導(dǎo)，總結(jié)、概括大家的意見(jiàn)，引導(dǎo)學(xué)生得出確定平面某一位置(即要找到某一地點(diǎn))的方法，以及這些方法的共同之處。接下來(lái)，老師與學(xué)生共同回顧之前學(xué)過(guò)的數(shù)軸的內(nèi)容——數(shù)軸上的每一個(gè)點(diǎn)都對(duì)應(yīng)著一個(gè)實(shí)數(shù)值，也即找到那一點(diǎn)，以此誘發(fā)學(xué)生思考平面上一個(gè)點(diǎn)的位置確定。結(jié)合先前活動(dòng)的經(jīng)驗(yàn)(有關(guān)橫走、豎走的經(jīng)驗(yàn))，抽象得出平面上確定位置的過(guò)程，也是尋找、設(shè)置兩條數(shù)軸(兩個(gè)方向)的過(guò)程。將平面直角坐標(biāo)系這一概念的形成過(guò)程歸結(jié)于兩條數(shù)軸的出現(xiàn)過(guò)程，這應(yīng)該是一種全新的視角。

3.集中討論，讓學(xué)生賦予“對(duì)象”定義

通過(guò)學(xué)生的集體討論、集思廣益，對(duì)“直角坐標(biāo)系”這一“對(duì)象”進(jìn)行表述：“平面上互相垂直且有公共原點(diǎn)的兩條數(shù)軸構(gòu)成平面直角坐標(biāo)系”，這是對(duì)象階段的目標(biāo)。因此，這一階段老師要繼續(xù)引導(dǎo)學(xué)生探討平面直角坐標(biāo)系的特點(diǎn)、存在意義(平面上的一個(gè)點(diǎn)與一對(duì)有序?qū)崝?shù)對(duì)之間的一一對(duì)應(yīng)關(guān)系)等，并進(jìn)行課堂練習(xí)，加深對(duì)此概念的認(rèn)識(shí)：練習(xí)(1)請(qǐng)你在先前的地圖中，建立平面直角坐標(biāo)系；(2)寫(xiě)出各點(diǎn)的坐標(biāo)；(3)寫(xiě)出與B點(diǎn)關(guān)于坐標(biāo)軸相對(duì)稱(chēng)的點(diǎn)的坐標(biāo)；(4)現(xiàn)有點(diǎn)(4，5)和點(diǎn)(-1，7)，請(qǐng)你在自己建立的直角坐標(biāo)系中描寫(xiě)這些點(diǎn)。第(1)小題用于加固平面直角坐標(biāo)系的概念；第(2)、(3)小題皆在聯(lián)系通過(guò)點(diǎn)寫(xiě)坐標(biāo)；第(4)小題解決坐標(biāo)描點(diǎn)。而這一切都將學(xué)生的動(dòng)手嘗試放在教師講解之前，也是考慮到知識(shí)內(nèi)容本身的難易程序和學(xué)生已有的知識(shí)背景的。

4.抽象概括，使學(xué)生建立起心理“圖式”

通過(guò)以上三個(gè)階段的教學(xué)，學(xué)生在頭腦中應(yīng)該比較深刻地建立起平面直角坐標(biāo)系的心理表征：具體的實(shí)例(直觀的)，概念形成過(guò)程，定義形式(抽象的)，三者之間的聯(lián)系與區(qū)別。例如進(jìn)電影院找座位、到公園找景點(diǎn)等、直角坐標(biāo)系的作用(刻畫(huà)平面上點(diǎn)的位置)、在直角坐標(biāo)系中確定點(diǎn)的過(guò)程及其與數(shù)軸的區(qū)別和聯(lián)系等等。老師帶領(lǐng)學(xué)生訂正課堂練習(xí)，并在其中嘗試區(qū)分平面直角坐標(biāo)系與數(shù)軸的不同，認(rèn)識(shí)它的優(yōu)越性。然后進(jìn)行反映概念特例的練習(xí)：(1)請(qǐng)大家在自己的平面直角坐標(biāo)系中找出點(diǎn)(3，0)和點(diǎn)(0，-5)；(2)大家觀察一下這兩個(gè)點(diǎn)有什么關(guān)系呢?……，這樣看來(lái)，這兩個(gè)點(diǎn)既表示平面上的點(diǎn)，也可表示平面當(dāng)中直線上的點(diǎn)!老師引導(dǎo)學(xué)生思考平面直角坐標(biāo)系與數(shù)軸的關(guān)系，明確它們的區(qū)別、聯(lián)系和知識(shí)間的應(yīng)用，幫助學(xué)生建立起“平面直角坐標(biāo)系”這一概念完整的心理圖式。

三、運(yùn)用APOS理論實(shí)施教學(xué)時(shí)，需要注意的問(wèn)題

數(shù)學(xué)以抽象作為一個(gè)重要特點(diǎn)，形式化的表述方式使數(shù)學(xué)更加抽象，教師和學(xué)生都在經(jīng)受“抽象”的考驗(yàn)，如果不能過(guò)“抽象”這一關(guān)，是不能說(shuō)理解數(shù)學(xué)的。但是，如果我們以“抽象”為由，抹去數(shù)學(xué)生動(dòng)、鮮活的現(xiàn)實(shí)背景，那也是認(rèn)識(shí)上的誤區(qū)。一方面，我們要為學(xué)生營(yíng)造體驗(yàn)數(shù)學(xué)發(fā)生、發(fā)展過(guò)程的平臺(tái)；另一方面，我們也不可為了創(chuàng)造學(xué)習(xí)的情境，只停留在活動(dòng)層面，而放棄對(duì)數(shù)學(xué)“抽象”之美的追求。

1.教師要把“教”建立在學(xué)生“學(xué)”的活動(dòng)中

教師在設(shè)計(jì)學(xué)生活動(dòng)時(shí)，常需要?jiǎng)?chuàng)設(shè)問(wèn)題情境，設(shè)計(jì)的問(wèn)題情境要注意能提示數(shù)學(xué)知識(shí)的現(xiàn)實(shí)背景和形成過(guò)程，要適合學(xué)生的學(xué)習(xí)水平和心理建構(gòu)能力，學(xué)生要有充足的活動(dòng)體驗(yàn)，能引起全體學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣。

2.要體現(xiàn)數(shù)學(xué)知識(shí)形成中的數(shù)學(xué)思維方法

數(shù)學(xué)思維方法是知識(shí)產(chǎn)生的靈魂，是學(xué)生展開(kāi)思維和構(gòu)建概念的主線，教師在學(xué)生學(xué)習(xí)中要給予提示、建議，并在總結(jié)中歸納，巧妙設(shè)計(jì)能引起學(xué)生反思的提問(wèn)，使學(xué)生能順利完成由“活動(dòng)”、“過(guò)程”到“對(duì)象”的過(guò)渡。

3.數(shù)學(xué)對(duì)象的建立需經(jīng)多次反復(fù)，不能一蹴而就

一個(gè)數(shù)學(xué)概念由“過(guò)程”到“對(duì)象”的建立，有時(shí)需要經(jīng)過(guò)多次反復(fù)，循序漸進(jìn)，“對(duì)象”的建立要注意簡(jiǎn)練的文字形式和符號(hào)表示，使學(xué)生在頭腦中建立起數(shù)學(xué)知識(shí)的直觀結(jié)構(gòu)形象。APOS理論的四個(gè)階段并非一定體現(xiàn)在一堂數(shù)學(xué)課當(dāng)中，也不是每一課都必須遍歷四個(gè)階段，它適用于數(shù)學(xué)概念在學(xué)生頭腦中建立的一段時(shí)期，并不局限于某一堂課。

APOS理論是一種數(shù)學(xué)概念教學(xué)論，通過(guò)學(xué)習(xí)和實(shí)踐。讓我深切地體會(huì)到教師的角色從“獨(dú)奏者”過(guò)渡到“伴奏者”，教師的任務(wù)不再是傳授知識(shí)，而是幫助學(xué)生去發(fā)現(xiàn)、組織和管理知識(shí)，師生關(guān)系成為探究真理的伙伴關(guān)系，學(xué)生能在輕松愉快的氣氛下表現(xiàn)自己，表達(dá)自己的思想和情感，從而有效地培養(yǎng)了他們的創(chuàng)新能力。

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