高中數學拓展性知識發生過程教學課例解析

這是一節高三數學復習課，課題是函數對稱性與周期性的關系，教材僅對周期性、對稱性分別作了介紹，而兩者的確存在某種聯系，并在高中數學中特別是實際應用中有一定的價值，因此，就函數對稱性與周期性的關系對教材進行適當的延伸拓展是有實際意義的，這節拓展課本著“讓學生在親身經歷知識的發生和形成過程中獲得知識”的理念，按一條明線：知識發生過程(對稱性與周期性的關系)，和一條暗線：思維發展過程(觀察、抽象、歸納、推理等)展開，基于拓展性數學知識一般都是源于教材，又高于教材的特點，下面設計了“提出問題，展開問題，深化問題”的教學過程，

一、創設情境，引發認知沖突——拓展性知識發生過程教學的重要起點

實錄1：課題引入

師：首先，我們來考察一組函數，大家看引題：判斷下列函數圖像哪些是軸對稱圖形?哪些是中心對稱圖形?并說明各自的周期性，

1.函數y=x²，2.函數y=x³，3.函數y=sinx.(PPT播放) 生齊：第一個是軸對稱圖形，沒有周期；第二個是中心對稱圖形，沒有周期；第三個既是中心對稱，又是軸對稱，有周期， 師：從這里，你認為對稱性能否引起周期性呢? 生某：不能引起， 生某：能夠引起， 生某：有可能引起， 師：同學們的意見大致歸為三種，這實際上都是同學們的一種猜想，都很好，有猜想就會有收獲，現在，我們就對這些猜想進行探究，這就是我們今天所要研究的課題——函數的對稱性與周期性的關系(手寫課題)， 師：第三個函數的對稱性與前兩個有什么不同呢?是不是這個對稱性的“不同”(手寫板書)引起了周期呢?(懸念)

解析：這是課題引入，用三個函數所表現的關于對稱性與周期性的兩類情況構成矛盾，即創設情境引發學生的認知沖突，特別是在揭示完課題之后，教師拋出懸念，問而不答，更加激發了學生的探究興趣與欲望，這就是知識發生過程的良好開端——教學從問題開始，

二、組串問題。探究事物規律——拓展性知識發生過程教學的有效途徑

實錄2：問題探究

師：下面，我們考察第一組問題，

問題1：定義在R上的偶函數f(x)的圖像關于直線x=1對稱，且當x∈[-1，1]時f(x)=x²問f(x)是否為周期函數?如果是周期函數，周期又是多少?條件中給定了(包括隱含的)幾條對稱軸?實際上有多少條?其中，兩相鄰對稱軸之間的距離是多少?周期值是該距離的幾倍?(PPT播放) 大家說，解決這個問題最省事的辦法是什么?

生齊：作圖，

師：那好，我們先作圖，根據條件，先作[-1，1]上的圖像，它應該是拋物線上的一段，再由對稱軸x=l把[-1，1]上的圖像對折到[1，2]上去，(PPT演示)

函數廠(x)還有對稱軸嗎?

生齊：y軸也是對稱軸(見圖1)，

師：為什么?

生齊：廠(z)是偶函數，

師：那好，我們再沿y(x=0)軸，將[1，2]上的圖像對折到[2，-1]上去，如此循環，以至無窮，我們就得到_廠(z)在R上的圖像，有了圖像，我們就可以觀察出，函數是——

生齊：周期函數，且周期為2.

師：條件中給定了幾條對稱軸?實際上有多少? 生齊：兩條：x=1，x=0，實際上有無數條，

師：兩條相鄰對稱軸之間的距離是多少?它與周期的關系?

生齊：距離為1，是周期的一半，

解析：這是一段師生間的互動，旨在為下面的學生自主探究提供方向性指引，它有利于避免那種放羊式的、失控而低效的學生課堂探究，這種經濟性的認知策略，是由課堂教學的特點所決定的，也是課堂教學有效性的要求，

師：下面大家分組考察，第一組探究問題2，第二組探究問題3，第三、四組探究問題4，

問題2：定義在R上的偶函數廠(z)的圖像關于直線x=1對稱，且當c∈[-1，1]時，f(z)：lxl，問f(x)是否為周期函數?如果是周期函數，周期又是多少?條件中給定了(包括隱含的)幾條對稱軸?實際有多少條?其中，兩相鄰對稱軸之間的距離是多少?周期值是該距離的幾倍?

問題3：定義在R上的偶函數f(x)的圖像關于直線x=2對稱，且當x∈[-2，2]時，f(z)=x²。問f(x)是否為周期函數?如果是周期函數，周期又是多少?條件中給定了(包括隱含的)幾條對稱軸?實際有多少條?其中，兩相鄰對稱軸之間的距離是多少?周期值是該距離的幾倍?

問題4：定義在R上的函數f(x)的圖像關于直線x=1，x=4對稱，且當x∈[2，1]時，f(z)=(x-1)²，f(z)是否為周期函數?如果是周期函數，周期又是多少?條件中給定了(包括隱含的)幾條對稱軸?實際有多少條?其中，兩相鄰對稱軸之間的距離是多少?周期值是該距離的幾倍?(PPT播放) 學生各組代表發表觀察結論如圖2所示， 師：好的，下面大家以前后4人一組開展合作探究，完成下面的表格，把以上4個問題的觀察結論作一個整理，找出4個問題的共同點和不同點來， 注：各組填表的內容不盡相同，綜合起來如下表，

解析：學生填表比教師預設的要好，比如，帶“*”的是教師沒有想到的，盡管有些是非主要的內容，但難能可貴，這說明學生的潛力是很大的，如果能設計出一串串遞進關聯、富有啟發的問題，激發學生的熱情與智慧，那么，課堂中就會有精彩的生成， 師：現在，我們通過觀察分析獲得了這4個問題的共同點，那么，要把握一個事物的規律，我們應該抓住事物的什么呢?又應該舍棄什么呢? 生某：抓共同點，舍不同點， 師：那好，下面同學們把這4個問題的共同點表述成一個命題，表述中注意要把問題一般化，比如兩條對稱軸可設為x=a，x=b(a>b)等，

生某：命題1(定理1)：如果定義在R上的函數f(x)的圖像關于直線z=a和x=b(a>b)對稱，那么函數f(x)是周期函數，且2(a-b)是它的一個周期，

師：下面我們一起來證明，

證明：因為廠(x)圖像關于直線x=a，x=b對稱，所以_廠(2a-x)=f(x)，f(2b-x)=f(x)，于是，f[2(a-b)+x]=f[2a-(2b-x)]=f(2b-x)=f(x)，因此，T=2(a-b)，(手寫板書)

于是，上述命題我們可以記為定理1，

解析：在這個探究過程中，學生不僅經歷了知識的發生過程，觀察與分析、歸納與抽象、判斷與推理的思維品質和能力也得以提升，同時，學生對“事物普遍聯系”的世界觀與方法論也受到潛移默化的影響，自主與合作的探究方式也培養了學生的獨立人格和合作精神以及交往溝通的能力，

三、深層追問，提升思維水平——拓展性知識發生過程教學的核心價值

實錄3：問題拓展

師：大家不難發現，定理1有一個特點，就是函數f(x)給出的條件有2條對稱軸，即有2個對稱條件，根據這個特點，我們給出一個約定：

約定：如果一個函數f(x)同時具有2個對稱條件(軸對稱或中心對稱)，我們就說函數f(x)具有雙對稱條件，簡稱雙對稱，(PPT播放)

師：大家說，照這個約定，雙對稱應該有幾種情況?

生某：共3種，一種是定理1中的雙軸的雙對稱，還有雙中心的雙對稱和一軸一中心的雙對稱，

師：你能在原點附近找到具有雙對稱的函數例子嗎?注意雙對稱中的兩個對稱是相鄰的，

生某：正弦函數，在它的一個周期[0，2π]內，同時有3種雙對稱：一軸一中心：x=7π／2，(0，0)；雙中心：(0，0)、(π，0)；雙軸：x=π／2，x=3π／2，

師：很好!我們感受了這3種雙對稱，那么仿照定理1你能猜想新的命題嗎?

思維的高潮到來了，課堂一片寧靜，于無聲處聽驚雷， 生某：改條件，即將定理1中的雙軸換成雙中心，結論不變， 師：你太有才了!具體是…… 生齊：命題2(定理2)：如果定義在R上的函數f(x)的圖像關于點(a，0)和點(6，0)(a>b)對稱，那么函數7r是周期函數，且2(a-6)是它的一個周期，(PPT播放) 師：類似的，我們還可以…… 生齊：將定理1中的雙軸雙對稱換成一軸一中心的雙對稱，得到命題3(定理3)：如果定義在R上的函數f(x)的圖像關于直線z=a和點(6，0)(a>b)對稱，那么函數f(x)是周期函數，且2(a-b)是它的一個周期，(PPT播放)

師：大家用正弦函數對上面的兩個猜想作一個驗證， 生某：驗證發現，猜想2中的T=2(a-b)應當改為T=4(a-b)， 課室頓時響起一片熱烈的掌聲，

解析：這是學生們對這位同學的敏銳洞察力和大膽修正錯誤，堅持真理的勇氣的贊許，全班師生也從中受到鼓舞和教育，

學生的發現出乎老師的意外，這種課堂隨機現象，及時抓住并因勢利導，就可轉換為有效教學資源，于是，有了下面師生的一段即興互動，

師：為什么命題3的周期要改為軸距的4倍呢?是什么原因引起的呢?

課堂再次寂靜，學生困惑不解，教師及時再搭腳手架， 師：看看命題3的雙對稱條件與前兩個命題有什么不同? 生某：哦，前兩個命題是同類的雙對稱，而命題3是不同類的雙對稱，

學生七嘴八舌，幡然醒悟，

師：同學們真聰明，把問題想得這樣深刻，以上兩個命題就不作證明了，留作課外作業，事實上，它們都成立，我們分別把它們叫做定理2和定理3(修正后的)，大家在證明的時候，就會進一步明確為什么同類的是2倍，不同類的是4倍(注：不同類的要通過兩次循環推證才能消掉負號)， 解析：這個“問題拓展”承接第一階段的探究，順勢而為，水到渠成，不僅擴展了探究成果(3個定理)，更重要的是讓學生的數學思想方法和理性精神得以升華，知識與思維的教與學到此已是水乳交融，互為依托，交相輝映，這正是數學教育的核心價值所在，也是新課程理念所追求的終極目標，如實體現了“數學學習與其說是學習數學知識，倒不如說是學習數學思維活動”這一觀點的真諦， 這節課教師的主導作用是充分而有效的，特別是對于拓展性的數學知識的學習與探究，而教師的主導過程除去即興成分(生成)外，相當一部分還是要靠課前預設，本次課的預設似乎多了一點，甚至有教師“刻意引導”的痕跡，但這些只要符合學生當前的認知基礎和教學規律，且有利于提高課堂教學有效性，我們就應當從實際出發大膽踐行并予以堅持，一方面，我們要堅定不移地反對只顧預設忽視學生主體發展的陳舊落后方式；另一方面，我們也要高度注意并克服那種無原則地形式化地追求課堂生成的傾向，切忌以課堂教學生成的一時繁榮而犧牲了課堂教學的有效性，因為預設是生成的前提，生成是預設的發展，

責任編輯 羅峰