在數學教學中發揮“為不可為”教學法的作用

數學學科及有關知識具有高度的抽象性，部分學生對于其中一些重要的概念和定理的理解時常會存在著一定的困難，主要表現在對有關知識往往只停留在表面上，只知其表不知其里。因此，在數學教學過程中，教師要依據學生的認知特點，采取多種教學手段使學生較好地掌握所學知識，達到教學目標。在諸多的數學教學方法中，為不可為的數學反例教學法就是一個較為有效的教學方式，是使學生加深對概念和定理的理解的重要手段，數學教學中精心設計的為不可為反例教學法有助于學生發現問題、活躍思維、準確掌握所學知識內容、避免常犯易犯的錯誤。在數學教學中恰當地運用反例不僅能使學生有 “耳目一新”、“豁然開朗”之感，收到事半功倍的教學效果，而且對學生深化概念、提高辨析問題的能力、養成良好的思維習慣和正確的思維方式有很大的促進作用。

一、數學教學中的為不可為能使學生加深對基本概念的理解和掌握

數學課程中很多概念都是比較抽象的，但這些概念是數學課程理論和方法的基礎，能否準確地理解和把握這些概念的內涵，掌握概念的本質屬性，對于正確掌握數學課程有關知識至關重要。如果我們在用實例深刻闡明這些概念的同時，運用恰當的反例從另一側面抓住概念的本質，就可以彌補正面教學的不足，并進一步加深學生對基本概念的理解。即在數學教學中，教師不僅要運用正確的例子深刻闡明知識點，而且要運用恰當的反例從另一個側面抓住概念或規則的本質，彌補正面教學的不足，從而加深學生對知識的理解和印象。例如在講解不等式的解法時，依據學生在解不等式時，經常會受到解方程慣性思維的影響，當不等式中有分式，即分母中含有未知數時，經常會犯的錯誤是在不等式兩邊同時乘以含有未知數的分母，而忽略了不等式的有關性質，即在不等式兩邊同乘以大于零的式子時，不等號開口方向不變，而不等式兩邊同乘以小于零的式子時，不等號開口方向變為相反方向。可如下先給出錯解，然后引導學生發現其中的問題和錯誤，再給出正解，使學生對不等式的解法及不等式的有關性質有更深的理解和認識。

例如：不等式x+>2 的解集是（）

A.(-1，0)∪(1，+∞）B.(-∞，-1)∪(0，1)

C.(-1，0)∪(0，1) D.(-∞，0)∪(1，+∞)

錯解：因x+>2 故x(x+1)+2>2(x+1)

x2-x>0，從而x(x-1)>0，故不等式的解集為{x|x<0或x>1}，從而選D。

分析：這里是將不等式轉化為整式不等式來進行求解的，但卻忽視了不等式的基本性質，這里x+1的符號不能確定，所以不等式的兩邊同乘以x+1后，不等式的方向是否改變也不能確定，正確的求解應將常數項移到左邊，然后通分轉化為分式不等式標準形式f(x)/g(x)>0，再轉化為整式不等式f(x)g(x)>0進行求解即可。

正解：因x+>2，故因x+-2>0，得因>0，即x(x-1)(x+1)>0

從而不等式的解集為{x|<-1x<0或x>1}，因此正確結論應該是A。

二、為不可為能幫助學生理解數學中抽象公式和定理

數學課程中的概念和定理有許多結構復雜，條件結論錯綜復雜，使人不容易理解。為不可為反例教學法可以使概念更加明確和清晰，使定理的條件和結論之間的充分性、必要性變得一清二楚。例如高等數學知識中極限內容中的兩個重要極限之一的，是當x→0時其極限才是1；學生常犯的錯誤是經常記得是其中的函數式，而忽視了自變量x的變化趨勢，認為只要是這樣的函數式，其極限一定是1。針對學生這種常犯的錯誤，可以如下設計：當x→∞時的該式子的極限呢？是否也等于1呢？當學生出現錯誤或迷茫時，可提示學生注意極限不僅與函數式子有關還取決于自變量的變化趨勢，并引出定理：無窮小量與有界函數的積仍為無窮小量，或通過做出正弦函數圖像的方法，使學生進一步明確正弦的值是落在-1和1之間的，而自變量x卻是絕對值趨于無窮大。為使學生掌握其實質。還可以如下設問，當又等于多少呢？分子分母調換，當自變量x趨于0時極限又等于多少呢？從而使學生真正掌握這一重要極限的結論及相應的變形，在實際應用中避免以偏概全的錯誤。

三、為不可為有助于提高學生的數學思維能力

在數學教學中，使用為不可為反例教學法是培養學生思維能力的一個重要手段，對學生掌握和分清條件的充分性與必要性，使用反例是非常有好處的。

例如：如果A：函數f(x)在x0處連續，則B：|f(x)|在x0處也連續，所以A是B的充分條件。為了說明A不是B的必要條件，我們舉出一個反例f(x)在x處不連續，如設|f(x)|=1，其中，當x大于等于0時，f(x)=1；而當小于0時，f(x)=-1。此時可引導學生注意只有在自變量x從左邊和從右邊趨于0，f(x)的極限都存在且相等和等于f(0)的值時，f(x)在x0=0處才是連續的。顯然，|f(x)|是滿足的，在x0=0處連續，而f(x)在x0=0處是不滿足的，即不連續。

為不可為反例教學法有助于培養學生的科學概括、深入鉆研、自覺糾錯的良好的思維品質，而這些都是學生在數學學習中必須努力培養的十分重要的數學思維能力。為不可為反例的引入，不僅能學生增加知識、拓寬思路、活躍思維、提高學習能力，也能提高分析問題和解決問題的能力，增加數學素養，可以培養學生的發散性思維和創造性思維。

四、利用為不可為，啟發學生的創造力，培養學生思維的縝密性

在數學教學過程中引入為不可為反例教學，能使學生在學習的過程中體會到，對待每一個數學問題都要認真對待，稍有不慎便可能出現錯誤，從而使他們進一步認識和體會到數學的嚴密性，形成良好的思維品質。例如在求一個函數的反函數時學生時常會犯下面錯誤。

例如：已知f(x)=3x+1，求f-1(x-1)。

錯解：因為f(x)=3x+1，所以f(x-1)=3(x-1)+1=3x-2，所以f-1(x-1)也就是f(x-1)的反函數，所以有f-1(x-1)=（x+2）/3。

正解：因為f(x)=3x+1，所以f-1(x)=(x-1)/3，從而 f-1(x-1)=（x-2）/3

我們可以通過作圖的方法很容易解釋：如果由y=f(x-1)直接求y=f-1(x-1)，那么y=f(x-1)與y=f-1(x-1)是否互為反函數呢？事實上不是的。因為y=f(x-1)與y=f-1(x-1)顯然不是關于直線y=x對稱。

在數學教學中，恰當適時地運用為不可為反例教學法，對于學生正確理解概念、鞏固和掌握定理、公式、法則等，進而培養學生的邏輯思維能力、活躍課堂教學、深化理解知識、有效地提高教學質量有著重要的作用。本文從為不可為在數學教學中幫助學生準確掌握數學知識基本概念和定理，提升學生思維能力和思維的縝密性等方面進行了探討并給出了具體實例，以期為不斷提高數學教學質量提供一些參考。

（作者單位：南通廣播電視大學）

注：“本文中所涉及到的圖表、公式、注解等請以PDF格式閱讀”