多組均數比較中方差分析的應用條件探討

摘要：方差分析是多組均數比較中廣泛采用的一種分析方法。本文就方差分析的應用條件做一番探討。

關鍵詞：多組均數比較；方差分析；應用條件

多組均數比較在實際數據處理中是大量存在的一類問題，過去由于受計算工具的限制，很多人采用兩兩t檢驗比較的方法來代替多個均數比較，這在統計學上是不能接受的，因為這樣做的結果致使統計結論的可信度下降，遠達不到常規的95%。現在，人們在作多個均數比較時廣泛采用方差分析方法。本文對方差分析的應用條件做一番探討。

一、方差分析的基本思想與實例

如果一群觀察值可以按一個標準或幾個標準進行分類，那么方差分析的基本思想就是把全體數據關于總均數的離差平方和（總變異）分解成兩個或幾個部分，每一個部分表示離差平方和（變異）的一種來源，對各部分的方差進行比較（ 檢驗），從而確認或否認某些方差（變異）來源的重要性。

方差分析如何進行多組均數比較，如何理解它的基本思想？筆者從一個實例作分析。

例：考察催化劑對某藥的得率的影響。現用4種不同的催化劑獨立地在相同條件下進行試驗，每種催化劑各做5次試驗，得到該藥的得率如下表。試問不同的催化劑是否對該藥的得率有顯著影響？（α=0.05）

某藥在4種不同催化劑下的得率（%）為：

這個例子是典型的單因素多水平的試驗數據，本例中的4種不同的催化劑各有5個觀察值構成了4組數據，它們的平均得率分別是88.2、83、94、80，其中最小的是80，最大的是94，表明這4種催化劑的得率之間可能存在差異，但各組內的5個數據也各不相同，這是樣品不均勻性與隨機誤差等造成的，既然同一催化劑下的得率可以不同，那么4個均數間的差別是否也可能是樣品不均勻性與隨機誤差等造成的呢？也就是說如何比較4個均數間的差別是否有統計學意義呢？

解決這個問題的思路通常是算一算樣品的不均勻性與隨機誤差等會產生多大的“差別”，我們將這種“差別”簡稱為“組內差別”，按常規的統計學處理數值型數據的辦法，總是假定各組試驗數據服從正態分布，另外為了方便估算“組內差別”我們還得假設各組具有同一方差σ2，這樣才可以對“組內差別”做出聯合估計；再算一算這4個組樣本均數間又有多大的“差別”， 然后將這兩種“差別”進行比較，如果組間“差別”明顯大于組內“差別”，那么就可以認為組間確實存在明顯的“差別”。而反映這種“差別”的統計指標最合理的就是“離均差平方和”或“方差”。按這樣的想法，很容易算得“組內離均差平方和”與“組內方差”：

組內離均差平方和S=[(85-88.2)+(88-88.2)+…+(90-88.2)]+[(79-83)+…+(88-83)]+…+[(75-80)+…+(84-80)]=148.8

組內自由度Vw=(5-1)+(5-1)+…+(5-1)=(5-1)×4=16

組內方差S===9.3

計算組間的離差平方和可以用各組的均值做本組數據的代表計算與總均值的離差平方和，考慮到各組數據個數有可能不同，可將各組數據個數作為權重系數，于是：

組內離均差平方和S=5×(88.2-86.3)+5×(83-86.3)+…+5×(80-86.3)=567.4

組間自由度VB=4-1=3

組間方差S===189.13

計算兩者之比F===20.34

若給定檢驗水準α=0.01，查F界值表，得F>F1-α=5.29，P<0.01，說明各組均數間的差異有統計學意義。

從這個例子可以看到要比較“差別”就得先計算出“組內差別”與“組間差別”，而要計算“組內差別”就得先假設各組數據為正態分布且總體方差相同。上面的例子雖然利用F檢驗得到了統計結果，但并末涉及到為什么可以用F檢驗來解決均數比較以及總變異是否恰能分解成組間變異與組內變異的問題，下面來談談多個均數比較采用 檢驗的理論依據。

二、方差分析的理論基礎

方差分析所用的是F統計量，也就是F檢驗，這就有必要先了解一下F分布：

兩個彼此獨立的服從x2分布的隨機變量ξ1、ξ2，其自由度分別為V1和V2，則ξ1/V1和ξ2/V2之比 也是一個隨機變量，它的分布稱作自由度為V1和V2的F分布。而x2分布是一個與正態分布有密切關系的分布函數，簡單的說就是若干個標準正態分布的平方和是一個x2分布，在統計學中有一個重要的事實是：對從一個服從正態分布的N(μ，σ)的總體中隨機抽取樣本容量為n，其樣本均數為x，標準差為s，則有(n-1)s2/σ2是一個服從x2分布的隨機變量，其自由度為(n-1)。另外x2分布有一個極為重要的性質就是若ξ1、ξ2是兩個彼此獨立的服從x2分布的隨機變量，其自由度分別為V1和V2，則ξ1±ξ2也服從x2分布，自由度為V1±V2。依據這個實事，若從兩個正態分布N(μ1，σ1)和N(μ2，σ2)的總體中分別隨機抽取n1和n2個樣本，其樣本方差分別記為S和S，自由度V1=n1-1和V2=n2-1，則

==

服從F分布。顯然這一事實在檢驗兩組數據是否具備方差齊性時是非常恰當的，這也正是很多人熟悉 檢驗是一種檢驗兩組數據方差是否相同的常用方法。實際上，它也是方差分析的理論基礎。

三、方差分析法在多組均數比較中的具體應用

1. 組內方差的計算。

設有k個組，每組有ni個樣本值，則全部數據為：

n1+n2+…+nk=n=N

假定它們取自k個正態總體N(μi，σi)，i=1，2，…，k，在單因素方差分析中，對多組數據通常是將其聯合起來考慮全部數據的組內變異與組間變異，組內變異主要是樣品的不均勻性與各種隨機誤差造成的差異，而組間變異則主要是不同處理因素造成的，若各處理因素確實有差異，那么組間變異就應比組內變異大很多，如何比較組間變異與組內變異的大小。經典的辦法是用方差來刻劃這種變異，這樣差異的比較就成了方差的比較，顯然F統計量是再合適不過的了，但問題是要把各組數據合并在一起，為使問題簡化，我們就得假設各總體的方差相等，即：σ1=σ2=…=σk=σ

這樣不同組的數據合并到一起便可以作出總體方差的聯合估計，設各組的樣本方差為S（i=1，2，…，k），則各組合并之后的組內離差平方和S與組內方差s可由下式算得：

S=(xij-xi)2=(n1-1)s+(n2-1)s+…+(nk-1)s

s=S/N-k

2. 總變異與組間方差的計算。

設各組的樣本均數為xi，全部數據的總樣本均數為x，顯然它應為各xi的加權平均，即=

現在讓我們來考察全部樣本數據的總離差平方和

S=(xij-x)2

對該表達式通過推導可以證明上式又可寫為

由于此式中的(xij-xi)=0，所以上式展開式中的第二項為0；又因(xi-x)2=n(xi-x)2，

所以最終可以得到

S=(xij-x)2=(xij-xi)2+n(xi-x)2

上式右端第一項就是S，第二項正是組間的離差平方和S。

這個結論說明樣本總的離均差平方和可以分解為兩部分：一部分是組內離差平方和，另一部分則是組間離差平方和，即S=S+S。這個重要結論也正是建立在正態性與方差齊性基礎之上的。

3. 利用F檢驗來作多個樣本均數比較。

多個樣本均數比較要檢驗的假設是：H0∶μ1=μ2=…=μk。

在這個假設之下，k個總體服從同一正態分布，那么全部樣本同出一源，都可看成是一個正態分布總體的獨立樣本。于是，對總的離差平方和S就有S/σ2服從x2分布，自由度為N-1，同樣S/σ2也是x2分布，自由度為N-k，根據x2分布的重要特點，則有：

=-

也是x2分布，自由度為k-1，因此據前面所述F分布的定義就有：

F====

這個式子說明在多個樣本均數比較時有了各組數據的正態性與方差齊性的假設，再加上多個均數比較所用的常規檢驗假設，此時組間的方差與組內的方差比就是一個F分布值了，這正是多個均數比較可用F檢驗的道理，這也就不難解釋為什么作方差比檢驗用的F檢驗在這里卻可以用來作多個樣均數比較的檢驗統計量。

現在用這樣的理論指導來完成前述的例子：

I．建立檢驗假設：H0∶μ1=μ2=μ3=μ4H0∶4個組的均數不等或不全相等

取α=0.01

II．利用方差分析的基本原理，計算出總變異

S=(xij-x)2=x-Nx2=149670-20×86.32=716.2

前面已算出：

S=148.8；S=567.4

顯然有

S+S=148.8+567.4=716.2=S

計算統計量

F====20.34

查F界值表，得F1-α=5.29，由于F>F1-α，所以P＜0.01，說明各組均數間的差異有統計學意義。通常這樣的方差分析總是列一張“方差分析表”：

從上面的例子與方差分析的原理闡述，我們可以理解方差分析正是利用了數據分布服從正態與各組數據方差齊性的假設前提下，可以用F檢驗來作多個均數比較，顯然這些應用條件是必不可少的。

（作者單位：廣東食品藥品職業學院）

參考文獻：

[1]高祖新，尹勤主編.醫藥應用統計(第一版)[M]. 北京：科學出版社，2007.

[2]蔣慶瑯著，方積乾等譯.實用統計分析方法[M].北京：北京醫科大學、中國協和醫科大學聯合出版社，1998.

責任編輯朱守鋰

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