簡單線性與非線性規劃高考試題及解法特點

簡單線性規劃是新課標高中數學教材中的新增內容，縱觀近幾年的高考試題，線性規劃的試題多以選擇題、填空題出現，但部分省市已出現大題。近幾年高考試題中，除了簡單線性規劃問題以外，非線性規劃問題也越來越受到命題者的青睞。簡單線性規劃與簡單非線性規劃問題具有很好的考查學生作圖、識圖、用圖的能力，分析問題和解決問題能力，正在成為一個高考必考知識點。研究近年各地高考試卷，可以發現這部分高考題大致有以下類型。

一、近五年高考試題中的線性規劃問題類型

近幾年高考試題中，簡單線性規劃與簡單非線性規劃問題多以選擇題和填空題形式出現，2010年廣東省高考試題中的理科19題為簡單線性規劃解答題。近幾年簡單線性規劃與簡單非線性規劃問題的類型主要有簡單線性規劃型、構圖型、面積型、簡單非線性規劃型、線性規劃應用型等。

【例1】（2007天津理）設變量x，y滿足約束條件：

x-y≥-1

x+y≥1

3x-y＜3

則目標函數z=4x+y的最大值為 （ ）

A. 4 B. 11 C. 12 D. 14

命題意圖：考查不等式中的線性規劃，在約束條件下的最值的求解，考查數形結合思想。

【例2】（2008北京理）若實數x，y滿足

則 的最小值是（ ）

A. 0 B. 1 C. D. 9

命題意圖：考查不等式中的線性規劃，在約束條件下的最值的求解，考查數形結合思想。

二、線性規劃與非線性規劃問題的常見類型及圖解法

1.類型一：構圖型

這類問題通常是由可行域構成三角形、四邊形等平面幾何圖形，或由所構圖形來求參數的范圍。

【例1】（2009北京文）設D是正 及其內部的點構成的集合，點 是 的中心。若集合 ，

則集合S表示的平面區域是（ ）

A. 三角形區域 B. 四邊形區域

C. 五邊形區域 D. 六邊形區域

解析：由已知條件可知，P點在直線l1的下方，在直線l2、直線l3的上方，故構成六邊形區域，選D。

2.類型二：目標函數為Z=Ax+ By +C的線性規劃型

這類問題通常分為三種設問方式：其一，求目標函數Z=Ax+By +C的最值或范圍；其二，由目標函數Z=Ax+By+C最值的取得，求最優解；其三由目標函數Z=Ax+By+C最值的取得，求約束條件或目標函數中參數值或參數的范圍。

【例2】（2011安徽理）設變量x，y滿足|x|+|y|≤1，則x+2y的最大值和最小值分別為（ ）

解析：不等式|x|+|y|≤1對應的區域如圖所示，當目標函數過點（0，-1），（0，1）時，分別取最小或最大值，所以x+2y的最大值和最小值分別為 2，-2，故選B。

3.類型三：目標函數為Z=|Ax+ By +C|的非線性規劃型

此類問題為點線距離型，一般轉化為可行域內的點到直線Ax+ By + C=0的距離。有時通過最值取得求參數值。

【例3】已知：

解析：可行域如上圖，A點坐標為（7，9）、B點坐標為（1，3）、C點坐標為（3，1）， ，令 ，知d為可行域內的點到直線x-2y-4=0的距離，可先求出d的范圍，進而求出z的范圍為[3，15]。

4.類型四：目標函數為

的非線性規劃型

此類問題為兩點間距離型，一般轉化為可行域內的點與定點距離問題。有時通過最值取得條件求參數值。

【例4】已知

6.類型六：實際應用型

此類問題的一般步驟：設出所求的未知數；列出約束條件（即不等式組）；建立目標函數；作出可行域；運用圖解法求出最優解。

【例6】某企業生產甲、乙兩種產品，已知生產每噸甲產品要用A原料3噸、B原料2噸；生產每噸乙產品要用A原料1噸、B原料3噸。銷售每噸甲產品可獲得利潤5萬元，每噸乙產品可獲得利潤3萬元，該企業在一個生產周期內消耗A原料不超過13噸，B原料不超過18噸，那么該企業可獲得最大利潤是（ ）

A. 12萬元 B. 20萬元

C. 25萬元 D. 27萬元

7.類型七：與其他知識關聯類型

線性與非線性規劃問題具有強烈的形的特征，因而往往和向量、函數、不等式等關聯。

【例7】（2009山東理）設x，y滿足約束條件：

縱觀上述問題我們不難發現，高考試題中簡單線性規劃與簡單非線性規劃問題的還是立足于高中函數、方程、不等式的基礎知識，突出化歸與轉化思想、數形結合思想的考查?！胺治鰯凳浇Y構，聯想形的特征，完成合理轉化”是解題的一般策略。

（作者單位：安徽省安慶市程集中學）