試談新課程理念下高中生數學探究能力的培養

【內容摘要】本文通過高中數學課堂有效利用教材，在概念、定理、公式的教學中，滲透科學家的動人事跡，激發學生探究的欲望；鼓勵學生大膽質疑、勇于求異，培養學生探究的興趣；利用教材“探究”素材，引導學生養成探究的習慣；積極設置一題多解與一題多變的教學情景，幫助學生掌握探究的方法；在知識的形成過程中，給學生留出“探究”的空間，讓學生體會探究的喜悅；在例習題的教學中，提升學生探究的意識。

【關鍵詞】課堂教學 數學探究能力 創造性培養

培養高中生的數學探究能力是新課改的熱門話題。《高中數學課程標準（實驗）》明確要求：“高中數學課程應力求通過各種不同形式的自主學習、探究活動，讓學生體驗數學發現和創造的歷程，發展他們的創新意識”。“數學探究”是高中新課程標準的重要理念。然而在踐行這一理念的過程中，數學探究存在這樣或那樣的一些問題。如在概念、定理、公式的教學中，內容枯燥，教法簡單，學生缺乏興趣；有些教師為了完成教學任務，無暇顧及學生對問題的質疑，也沒有足夠的時間對教材上的例題進行探究，更別提對教材的“探究”進行探究；也有些老師在課堂中有數學探究，但探究形式化、低效化、狹窄化。

筆者認為，出現上述問題的主要原因，一是對新課程理念理解不夠，不重視學生探究能力的培養；二是缺少對數學探究素材的收集和研究。其實課堂是培養學生數學探究能力的最好場所；課本是實施數學探究的最寶貴資源。那么，在新課程理念下的數學課堂教學中，如何有效利用教材培養學生的數學探究能力呢？筆者對此進行了較為系統的思考，下面就來談一談本人在教學實踐中的一些具體做法和切身體會。

1.在概念、定理、公式的教學中，滲透科學家的動人事跡，激發學生探究的欲望

數學中的知識體系、定理和公式，無一不是前輩數學家們通過觀察、分析和探究，并結合創造性思維而得出的。我們將牛頓-萊布尼茲公式、柯西不等式等以數學家的名字命名的公式和定理展現給學生的同時，還輔以介紹先輩們創建這些知識體系的方法和過程，讓學生對他們感到由衷的敬佩。在此過程中，學生還可以學到各種探究、發現問題的方法，進而迸生出探索與發現知識的欲望。

【案例1】等差數列前n項和公式

先請同學們討論自然數列前n項和問題（如前100個自然數的求和），在此基礎上，聯想到高斯的“巧妙求和”的故事；繼續請同學沿著高斯求和的思維過程，自然得出高斯所用的“倒序求和法”，趁熱打鐵，讓他們思考這種求和法能否用于一般等差數列的求和呢？學生經過再次探索，最終明白“該求和法可以用于一般等差數列求和”的結論。在中學教科書上以數學家的名字命名的定理、公式很多，只要教師用心挖掘、精心準備，定能達到預期的效果。

2.鼓勵學生大膽質疑、勇于求異，培養學生探究的興趣

質疑是“探究”與“發現”的核心，我國數學家華羅庚就是不輕信現成的定理而大膽質疑，他的成名作《蘇家駒之代數的五次方程式解法不能成立的理由》，糾正了蘇教授論文中的錯誤，由此在數學界初露頭角。因此，要積極鼓勵學生向老師、參考書甚至教科書中不完善的地方提出質疑。

【案例2】已知實數 滿足 則 的最大值為 ；

為了培養學生思維的批判性，我們讓學生把他的解法（錯誤解法）展示在黑板上：

由

得

故 的最大值為10。然后，讓大家一起討論解法的正確性，引導學生思考：等號在什么時候成立。學生此時就發現了其中的問題：當且僅當 時， 但這將會導致4=16的矛盾？繼而，再由學生自己來探究正確的解法。問題的本質實際上是柯西不等式：

3.利用教材“探究”素材，引導學生養成探究的習慣

與大綱教材相比，新課標教材中有一個明顯的特點是增加“探究”素材，如人教A版必修1有14個探究素材。在數學課堂中適當選取素材，通過設置問題情境，嘗試過程的研究，全方位展現數學知識產生發展的動態過程，引導學生養成發現問題、探究問題的習慣。

【案例3】人教A版《必修1》P30頁函數單調性的“探究”問題：

畫出反比例函數 的圖像。

（1）這個函數的定義域I是什么？

（2）它在定義域I上的單調性是怎樣的？證明你的結論。

學生在老師的引導下進行自主探究。表面上看，這個探究是比較容易完成的，結論也很明了。關鍵是要引導學生真正領會探究的意義和價值，正如書上的旁白：“通過觀察圖象，先對函數是否具有某種性質做出猜想，然后通過邏輯推理，證明這種猜想的正確性，是研究函數性質的一種常用方法”，為此，在課堂教學中對這個問題還可以進行如下探究設問：

① 函數 是減函數嗎？

②反比例函數 的單調性是怎樣的？

③請運用上述研究方法研究函數

的單調性。

4.積極設置一題多解與一題多變的教學情景，幫助學生掌握探究的方法

一題多解能幫助學生透徹理解數學思想和數學方法，成為探索數學思維規律的重要手段。波利亞曾經說過：“掌握數學就意味著要善于解題”。為達到這一境界，僅僅依靠課本例習題，局限于個別題型是遠遠不夠的，往往會陷入“只見樹木，不見森林”的境地。通過“一題多解”和“一題多變”的教學，組織學生開展多角度、深層次的探究活動，可以使學生在“變”的過程中感悟知識的真諦。

【案例4】①橢圓 上求一點，使它與兩焦點的連線互相垂直。（用多種方法分析→然后再一題多變②→類比，推廣，探究③④）

②M是橢圓 上一動點，F1，F2是橢圓的焦點，若

則ΔF1MF2的面積等于 ；cos∠F1MF2的最小值是 ；當∠F1MF2為鈍角時，點P的橫坐標的取值范圍是 。

③曲線

的兩個焦點為F1，F2，點M在曲線上，若 則三角形F1MF2的面積等于 ，點M到x軸的距離為 。

④已知橢圓

上存在一點M，使得M與橢圓兩焦點 F1，F2連線互相垂直，求此橢圓離心率的取值范圍是 。

“一題多解”是數學課堂教學的閃光點，更是掌握規律探索規律的有效途徑。但是，“一題多解”也不能只滿足“量”的積累，更要多多歸納總結方法，即“授人以魚，不如授人以漁”。

5.在知識的形成過程中，給學生留出“探究”的空間，讓學生體會探究的喜悅

【案例5】求拋物線的標準方程。

對于如何建立坐標系，很多教師都采取“結果式”的教學，把結果直接拋給學生。這種教學不但剝奪了學生探究的機會，而且跳過了知識的發生形成過程，往往會造成學生機械地學習。實際上，關于坐標系如何建立，教師完全可以放手讓學生通過自己的思考和探究來獲得。在不同的坐標系之下得到的不同的拋物線方程如：

和 等。在這個基礎上，幫助學生分析獲得的結果。另外，學生在探究過程中，還可發現拋物線的其他標準方程。當學生通過探究發現自己也能得到和課本上相同的結論時，成功的喜悅會極大地激勵他們的創新意識。

6.在例習題的教學中，提升學生探究的意識

深入挖掘教材的潛在教學功能，讓學生在獲得數學知識的同時，發展思維能力。在教學中，教師應根據教材的特點，提出富有啟發性的問題，鼓勵學生去探索、去發現。

【案例6】人教A版《選修2-1》課本在不同地方給出了橢圓的兩種定義。

這兩種定義之間是否存在著內在聯系？這內在聯系又在哪里呢？此時，教師可引導學生對它們的推導過程進行比較與探究，將會發現P42頁所得的式子 既可以轉化為動點到兩定點的距離之和為常數的形式，也可以轉化為動點到定點與到定直線的距離之比為常數的形式，故所得的軌跡實際上是相同的。

【案例7】①設點A、B的坐標分別為（-5，0）和（5，0），直線AM，BM相交于點M，且它們的斜率之積是 ，求點M的軌跡方程。（課本P44例題）

②設點A、B的坐標分別為（-5，0）和（5，0），直線AM，BM相交于點M，且它們的斜率之積是 ，求點M的軌跡方程。（課本P59探究）

兩題雖只有一個符號之差，軌跡卻完全不同。若我們的思考到此就結束了，顯然會缺失掉教材的典型性和示范性，相反，教師若能引導學生對這兩題進行觀察對比，并將上述問題類比推廣為：

③已知 ABC的兩個頂點A，B的坐標分別是（-5，0），（5，0），且AC，BC所在直線的斜率之積等于m（m≠0），試探求頂點C的軌跡。

不難發現這樣一個結論：“與x軸上兩定點連線斜率乘積為非零常數m的點的軌跡是二次曲線（除去x軸上兩點，下同）。當m>0時軌跡為雙曲線；當m<0，且m≠-1時軌跡為橢圓；當m=-1時軌跡為圓。”于是，學生們就發現了一個不同于課本雙曲線、橢圓、圓的新定義。久而久之，學生在后續的學習過程中定會充滿激情、自覺去探究、攻克所遇到數學問題。

教材中的許多例習題都富有典型性和深刻性，如何引導學生充分利用課本例習題揭示其深刻性，是重要的教學資源，也是教學能否成功的關鍵。因此，教師要把握好時機，在課堂教學中精選一些富有探究性的典型例習題進行推廣、變式探究。對問題不應滿足于表面，敢于深入下去，善于類比、歸納，就會有所發現，只要不是書上看來的或聽老師講的，而是自己探索得來的，就是發現，就是創新。這樣做有利于提高學生的信心，敢于大膽地去探究和發現問題，從而達到提升探究和發現問題的意識。

總之，數學課堂教學一定要遵循以學生為主體、以老師為主導的教學原則，同時必須遵循學生的認知規律，在學生感到疑惑的地方，展現教師，特別是學生的思考過程，引導學生自己去探究，把要學的知識看成是一個待解決的知識“課題”，使數學探究成為教學活動的常態，“探究與發現”成為學生學習的習慣，去探究、去發現數學知識之間的內在聯系，學生才能形成良好的認知結構，養成良好的探究意識，才能把學習知識與培養創造能力統一起來，從而提高教學質量。

【參考文獻】

[1] 中華人民共和國教育部. 高中數學課程標準（實驗）[M].北京：人民教育出版社，2003.

[2] 中華人民共和國教育部制訂. 通高中數學課程標準實驗教科書[M].北京：人民教育出版社，2007.

（作者單位：浙江省永嘉中學）