點擊2011年高考數學中的圖象試題

441000 湖北省襄陽市第一中學 王 勇 李 燃

438200 湖北省浠水縣實驗高中 潘翠玲

430062 湖北大學中學數學編輯部 曹 丹

點擊2011年高考數學中的圖象試題

441000 湖北省襄陽市第一中學 王 勇 李 燃

438200 湖北省浠水縣實驗高中 潘翠玲

430062 湖北大學中學數學編輯部 曹 丹

圖象是表示函數的一種重要形式，其最大優點是直觀，給出已知條件要求學生識別圖象、根據所給圖形要求學生匹配出相應圖象、沒有圖象要求學生數形結合巧妙地利用圖象解題等是高考考查的重要內容之一．本文以2011年高考試題為載體，談圖象題的類型及解法．

1 識圖

給出解析式，要求學生讀懂題意，定性分析函數的性質，如單調性、奇偶性等，結合選擇支不難找出正確答案．

2 譯圖

圖2

圖3

綜上可知，本題應選B．

點評 本題考查利用導數判斷函數單調性的有關知識，考查識圖、譯圖及用圖的能力，難度較大．

圖6

點評 本題主要考查平面圖形的折疊問題、二面角以及代入法求曲線的軌跡方程等知識，綜合性較強，考查了空間想象能力，難度中等．

例10 (2011年江西文)如圖7，一個“凸輪”放置于直角坐標系x軸上方，其“底端”落在原點O處，一頂點及中心M在Y軸的正半軸上，它的外圍由正三角形的頂點為圓心，以正三角形的邊長為半徑的三段等弧組成．

今使“凸輪”沿x軸正向滾動前進，在滾動過程中，“凸輪”每時每刻都有一個“最高點”，其中心也在不斷移動位置，則在“凸輪”滾動一周的過程中，將其“最高點”和“中心點”所形成的圖形按上、下放置，應大致為

圖7

圖8

所以M到x軸的距離是先增大再減小再增大再減小……，呈現周期性的變化;最高點到x軸的距離一直為圓弧的半徑a．綜上所述，本題應選A．

點評 本題考查了學生的數學觀察能力、數學感悟能力及實際操作能力，主要運用數形結合思想求解，是一道優秀的創新題．

例11 (2011年江西理)如圖9，一個直徑為1的小圓沿著直徑為2的大圓內壁的逆時針方向滾動，M和N是小圓的一條固定直徑的兩個端點，那么，當小圓這樣滾過大圓內壁的一周，點 M，N在大圓內所繪出的圖形大致是

圖9

圖10

點評 本題綜合考查了圓的有關知識、弧長公式等，重點考查動手操作能力和創新思維能力，是一道難得的好題．

3 用圖

華羅庚指出:“數缺形時少直觀，形少數時難入微，數形結合百般好，隔裂分家萬事非”．有些題若能借助圖象直觀去解，即數形結合，則可收到事半功倍的效果．

圖11

圖12

圖13

圖14

圖15

圖16

圖17

由圖可知兩函數圖象在［-3，3］上共有8個交點，且這8個交點兩兩關于原點對稱．

點評 本題考查函數圖象的畫法、三角函數的誘導公式，考查數形結合、轉化與化歸思想及換元法的應用，同時考查邏輯思維、抽象概括能力，本題對能力要求較高，難度較大．

例19 (2011年重慶理)設m，k為整數，方程mx2-kx+2=0在區間(0，1)內有兩個不同的根，則m+k的最小值為

A.-8 B.8 C.12 D.13

解 方程mx2-kx+2=0在區間(0，1)內有兩個不同的根可轉化為二次函數f( x)=mx2-kx+2在區間(0，1)內有兩個不同的零點．

將k看作自變量，m看作函數值，畫出可行域如圖18陰影部分所示．因為m，k均為整數，結合可行域并利用逐步調整法可知k=7，m=6時，m+k最小，最小值為13．故選D．

點評 本題考查一元二次方程根的分布、平面區域中整點最優解的尋找方法等，考查學生的數形結合思想、轉化與化歸的能力，題目綜合性強，難度極大．

圖18

20110726)