數(shù)學(xué)中的反例與創(chuàng)新思維培養(yǎng)

518001 廣東省深圳中學(xué) 鄧正德

數(shù)學(xué)中的反例與創(chuàng)新思維培養(yǎng)

518001 廣東省深圳中學(xué) 鄧正德

反例在數(shù)學(xué)教學(xué)中起著重要的作用，概括起來主要體現(xiàn)在以下幾個(gè)方面:

1．反例是駁斥謬論、揭露詭辯、修正錯(cuò)誤的重要手段，有助于正確掌握題解方法;

2．它是否定命題的重要方法;

3．反例是強(qiáng)化概念的有力工具，可以深化學(xué)生對(duì)知識(shí)的理解;

4．反例是幫助學(xué)生掌握定理、公式和法則的得力措施;

5．反例可以提高解題的速度;

4)修改功能：可以對(duì)學(xué)生的基本信息及各科成績進(jìn)行修改，并有提示確認(rèn)修改對(duì)話框。當(dāng)修改了學(xué)生的各科成績后，學(xué)生成績的總分自動(dòng)重新計(jì)算并修改。當(dāng)各科成績未做改動(dòng)時(shí)，修改其總分，總分不會(huì)有變化。

6．反例有助于創(chuàng)新思維的培養(yǎng)．

現(xiàn)就利用反例教學(xué)培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新思維談些體會(huì)．

問題1 “一個(gè)等比數(shù)列{an}共有3n項(xiàng)，其前n項(xiàng)和為 Sn，則 Sn，S2n-Sn，S3n-S2n也是等比數(shù)列”，試判斷這個(gè)命題的真假，并說明理由．

教學(xué)中，一個(gè)學(xué)習(xí)小組的同學(xué)經(jīng)過討論得出結(jié)論:這是真命題．理由如下:

(1)當(dāng)公比 q=1 時(shí) Sn=S2n-Sn，=S3n-S2n=na1，且a1≠0，命題成立;

(2)當(dāng)公比q≠1時(shí)，由等比數(shù)列的求和公式可得S3n-S2n=q2n·Sn，S2n-Sn=qnSn，所以(S3n-S2n)∶(S2n-Sn)=(S2n-Sn)∶Sn=qn，命題成立．

問同學(xué)們:對(duì)這個(gè)小組的判斷有沒有不同看法?同學(xué)們異口同聲回答:沒有!更使人想不到的是，還有一位同學(xué)發(fā)問:老師難道你對(duì)此還有懷疑嗎?我在幾本教學(xué)參考資料和高考復(fù)習(xí)資料上都看到，都說這個(gè)結(jié)論是正確的，書上總不會(huì)搞錯(cuò)吧!同學(xué)們還鼓掌了．

這時(shí)啟發(fā)道:你們對(duì)老師提出和講解的一些問題都要問幾個(gè)為什么，這是一種很好的思維方式．這個(gè)命題確實(shí)在很多書刊和高考模擬題中都出現(xiàn)過，書刊的作者肯定是經(jīng)過慎重思考的，但也不能絕對(duì)保證不出錯(cuò)，我們應(yīng)用批判的思維方式看待問題，要敢于挑戰(zhàn)權(quán)威;平時(shí)常說追求真善美，數(shù)學(xué)是求真的科學(xué)．

同學(xué)們給出的證明是有問題的．大家都說問題在哪里?問題出在:“所以(S3n-S2n)∶(S2n-Sn)=(S2n-Sn)∶Sn=qn”．

同學(xué)們請(qǐng)思考:若Sn=0，這時(shí)上式還成立嗎?大家議論開了．后來有同學(xué)舉手發(fā)言，“老師，我找到一個(gè)反例說明這個(gè)命題是錯(cuò)誤的:如果一個(gè)具有4項(xiàng)的等比數(shù)列的公比為-1，那么前2項(xiàng)和、中間2項(xiàng)和、最后2項(xiàng)和均為 0，顯然 S4，S8-S4，S12-S8不是等比數(shù)列．”

頓時(shí)響起了熱烈的掌聲，同學(xué)們享受著學(xué)習(xí)的快樂，也為思維水平的提升感到高興．

問題2 (人教版教材2-3的P24例8)100件不同的產(chǎn)品中有2件次品，從中任抽3件，問至少出現(xiàn)1件次品的抽法共有多少種．

教學(xué)時(shí)先由學(xué)生分組討論、嘗試探究其解法，三個(gè)小組的代表提出了三種不同解法.

然后由其他小組的同學(xué)評(píng)價(jià)，對(duì)于解法(2)，(3)大家認(rèn)為其實(shí)質(zhì)是相同的，都是分類．解法(3)采用了逆向思考的方式，問題的反面的情況少，用整體減去部分，解法簡單，且得出的結(jié)論是正確的．解法(1)似乎有道理，但其計(jì)算結(jié)果比解法(2)的多了!覺得這一解法有問題，又一時(shí)找不出原因．這時(shí)啟發(fā)同學(xué)們思考:

1．若A，B表示兩件次品，在選1件次品時(shí)，它們都有一次被選的機(jī)會(huì);設(shè)被選中的是A，再選另兩件時(shí)B又有一次被選的機(jī)會(huì)，而A卻沒有;每一件正品也只有一次機(jī)會(huì)，這里出現(xiàn)了什么問題?

2．在選1件次品時(shí)選中的是A，再選的另兩件是B和正品C;在選1件次品時(shí)選中的是B，再選另兩件是A和正品C;這兩種選法選出的都是A，B，C是同一種選法;而在解法(1)中算了幾次?

問題2中的反例使同學(xué)們豁然開朗:解法(1)由于出現(xiàn)重復(fù)而錯(cuò)．

進(jìn)一步提出問題:①遇到剛討論的類似問題怎樣做才可以避免重復(fù)?②在怎樣情況下使用間接法比較合適?讓同學(xué)們思考和小結(jié)．

問題3(2010年全國新(21)題)設(shè)函數(shù)f(x)=ex-1-x-ax2．

(1)若a=0，求f(x)的單調(diào)區(qū)間;

(2)若當(dāng)x≥0時(shí)f(x)≥0，求a的取值范圍．

討論 (1)(略)．只討論(2)中的問題，同學(xué)們?cè)诮獯饡r(shí)常常是轉(zhuǎn)化為最大值問題處理，但是當(dāng)x≥0時(shí)，求極值點(diǎn)遇到解超越方程，解不下去，f(x)的最大值就無法用a的式子表示，往下走不通了．這時(shí)構(gòu)造反例，可以縮小討論范圍，便于問題的解決．

取a≥1，則f(1)=e-2-a＜0，說明a≥1不符合要求．

同時(shí)根據(jù)(1)中提供的信息，可得ex≥1+x當(dāng)且僅當(dāng)x=0時(shí)等號(hào)成立，因 f'(x)=ex-1-2ax，故若把 ex縮小為1+x，可得f'(x)≥x-2ax=(1-2a)x，不等式右邊式子簡單，用分類討論就可以判斷其符號(hào)了，進(jìn)而單調(diào)性就可判斷，問題就好解決多了．

數(shù)學(xué)創(chuàng)新思維品質(zhì)的培養(yǎng)，關(guān)鍵在于激發(fā)學(xué)生創(chuàng)新性思維的發(fā)生機(jī)制．注重創(chuàng)設(shè)問題情境，形成創(chuàng)造氛圍;要活用通性通法，強(qiáng)化信息儲(chǔ)備;既指導(dǎo)學(xué)生在思維活動(dòng)中靈活運(yùn)用形象思維、發(fā)散思維和直覺思維，又注意各種思維方式的辯證性．構(gòu)造反例有利于縝密思考，糾正錯(cuò)誤結(jié)論，開拓?cái)?shù)學(xué)新領(lǐng)域，培養(yǎng)學(xué)生發(fā)散性思維及創(chuàng)造性思維的能力;有利于培養(yǎng)學(xué)生良好的思維品質(zhì)和良好的學(xué)習(xí)習(xí)慣．在數(shù)學(xué)教學(xué)中反例是很多的，掌握了構(gòu)造反例的基本方法后可以自己構(gòu)造出好的反例．只要我們有心利用，注意把握好時(shí)期，適當(dāng)講究教學(xué)藝術(shù)，不僅可以激發(fā)學(xué)生的探索興趣，培養(yǎng)其鉆研精神，成為優(yōu)化創(chuàng)新的誘因，而且可以讓學(xué)生去體驗(yàn)創(chuàng)新的快樂，進(jìn)而逐步形成創(chuàng)新的意識(shí)．這些工作應(yīng)該提倡數(shù)學(xué)教師努力去做．

1 蔡玉書.“數(shù)學(xué)中反例教學(xué)的作用與思考”

20110714)