從一道高考題欣賞出租車幾何學

236800 安徽省亳州市第一中學 史 嘉

從一道高考題欣賞出租車幾何學

236800 安徽省亳州市第一中學 史 嘉

2009年高考數學上海理科卷第13題:

某地街道呈現東—西、南—北向的網格狀，相鄰街距都為1，兩街道相交的點稱為格點．若以互相垂直的兩條街道為軸建立直角坐標系，現有下述格點(-2，2)，(3，1)，(3，4)，(-2，3)，(4，5)，(6，6)為報刊零售點．請確定一個格點(除零售點外)________為發行站，使6個零售點沿街道到發行站之間路程的和最短．

該題以現代城市棋盤式布局(如北京道路幾乎都是東西和南北走向)為背景而抽象出的理想模型．題中兩格點間的“路程”不同于歐氏幾何中兩點間的“距離”，如給定兩點 A(x1，y1)，B(x2，y2)，歐氏幾何的距離即 dAB，而題中的路程為lAB=|x1-x2|+|y1-y2|.在城市中，我們說兩點間的距離，往往不是指兩點間的直線距離(位移)，而是考慮它們相距多少個街區(路程)，這種理想模型正是出租車幾何學(taxicabgeometry)的現實意義．假設每條街道都是水平或豎直的，那么只要你朝著目標走(假如不故意繞道)，不管怎樣走，“距離”(路程)都是一樣的，如圖1．

我們知道，除了經典的歐氏幾何，還有非歐幾何．在日常生活空間里，歐氏幾何是適用的;而在宇宙空間中或原子核世界，羅氏幾何更符合客觀實際;在地球表面研究航海、航空等實際問題中，黎曼幾何更準確一些．出租車幾何也算是一種全新的非歐幾何，適用于城市街道距離的測量，尤其是對出租車師傅，其名稱就來源于此．接下來，我們從點和距離的定義談起．

在出租車幾何學中，點還是定義為形如(x，y)的有序實數對，角度大小的定義也和原來一樣．只是，兩點A(x1，y1)和B(x2，y2)的距離重新定義為了|AB|=|x1-x2|+|y1-y2|，即兩點的橫坐標之差與縱坐標之差的和．

其中對“距離”的定義是合理的，因為它滿足距離公理:

圖1

(1)非負性:任意兩點A和B，都有一個非負實數|AB|與之對應，該實數就叫做點A到點B的距離;

(2)對稱性:A到B的距離與B到A的距離相等，即|AB|=|BA|;

(3)零距離:當且僅當這兩點重合時，距離|AB|=0;

(4)三角形不等式:對于任意三點A、B和 C，總有|AB|+|BC|≥|AC|成立．

也就是說出租車幾何學是建立在一個合理的度量空間上的．我們這就進入一個全新的幾何世界:出租車幾何．

在這個世界里，很多經典定理仍然成立．比方說，三角形的內角和還是180度．因為，這是一個關于角度的定理，與距離的度量方式無關．不過，一旦涉及到三角形的邊長(距離)，就會出現“古怪”的現象．

第一個“古怪”的現象就是三角形中等邊未必對等角了．底角不相等的等腰三角形不計其數，如圖2中的△ABC，AC=BC，但∠A≠∠B．類似地，等角對等邊也不成立了，例如圖3中的三角形，雖然∠B=∠C，但AC=5，AB=7．“奇怪”的是，在出租車幾何中，甚至能畫出等邊直角三角形，如圖4，AB=AC=BC=4，但AB⊥BC．

圖2 圖3

圖4 圖5

在這個世界里，兩個三角形的三邊對應相等(SSS)并不能用來判斷他們全等．如圖5中的△ABC和△A'B'C'，顯然 AB=A'B'，BC=B'C'，AC=A'C'，但這兩個三角形并不全等．邊角邊(SAS)也不能作為全等三角形的判定依據．如圖6中兩個直角邊長均為2的直角三角形，它們明顯不能完全重合在一起．

圖6 圖7

圖8

在新的游戲規則下，很多圖形會變得不可思議．我們知道線段的垂直平分線為“到兩端點距離相等的點的集合”，是一條直線．在這個幾何世界里，如果垂直平分線還那樣定義的話，會是怎樣的圖形呢?在一般情況下，垂直平分線并不是“垂直”平分線，而是一條折線，如圖7;有時還不唯一，甚至不再是“線”，如圖8，線段AB的垂直平分線就是線段連接著兩整塊的區域．

圖9

盡管線段的垂直平分線如此怪異，不過(一般情況下)三角形三邊的垂直平分線仍然交于一點，如圖9．這是因為，“三角形三邊的垂直平分線交于一點”的證明過程只與垂直平分線的定義有關，而與垂直平分線的具體形式無關．那么，這個點是否是三角形的“外心”?這個三角形也有外接圓嗎?圓又是怎樣的圖形?

在出租車幾何中，最有趣的就是圓．如果我們仍然定義圓為“到某定點的距離為定長的點的集合”的話，那么圖10中的“正方形ABCD”就是一個半徑為2的圓．因為其圓周上的所有點到圓心O的“距離”都是2．但是，“正方形”卻又未必是圓，如圖11的“正方形ABCD”就不滿足圓的定義．更令人驚奇的是，這個幾何世界的圓周率不再是無理數π了，而是有理數4．神奇的還不止這些．圓的方程變得更簡單了，如圓心在原點的單位圓方程是|x|+|y|=1，任意圓的標準方程為|x-a|+|y-b|=r，其中(a，b)為圓心，r為半徑．

圖10 圖11

原來，圖9中的點O也是名副其實的“外心”，以它為圓心、以4為半徑的圓(即圖12中的“正方形DEFG”)就是△ABC的外接圓．也就是說，在出租車幾何里，一般位置上的三個點也唯一地確定了一個圓．不過，也有例外，比如同時過點 A(-1，0)、B(0，-1)、C(0，1)的圓就有無窮多個．這是因為，AB和 AC的垂直平分線都不是“線”，而是整塊的區域．因此這幾條“垂直平分線”的交集不止一個點，如圖13，圓O1(即正方形ADEF)和圓O2(即正方形AGHI)都是△ABC的外接圓．

圖12 圖13

到此，我們只是初步領略了出租車幾何的“怪異美”．正如文［3］所打的一個形象比喻:石桌面上刻著縱橫相錯的網格，旁邊擺放著黑白兩種顏色的棋子．你認為這一定是為下圍棋準備的么?未必，可以下圍棋，還可以下五子棋．棋具相同，規則有別，就是不同的游戲．出租車幾何就是有別于歐氏幾何規則的新游戲．那么，還有哪些歐氏幾何的經典結論在出租車幾何學中同樣成立?出租車幾何學中有什么漂亮而獨特的結論?如何定義一些更加復雜的幾何對象?它們在出租車幾何學中又是什么樣的?感興趣的讀者可以taxicabgeometry以為關鍵詞，用百度等搜索相關信息，不妨繼續往下探索這個不為人知的神奇世界.

近幾年，以出租車幾何為背景的高考題除2009年上海文理卷中的兩題外，還有2010年廣東理科第21題，以“折線距離”d(A，B)=|x2-x1|+|y2-y1|為背景命制，值得關注．最后，利用出租車幾何中的距離(即考題中的路程)求解報刊發行站的位置．

只有y=3或4時6個因式不異號，即等號成立．

故L≥13+9=22，此時不與零售點重合的格點只有(3，3).

1 Matrix67.出租車幾何學:一個全新的幾何世界http:∥www.matrix67.com/blog/archives/4078

2 Taxicabgeometry.http://en.wikipedia.org/wiki/Taxicab_geometry

3 彭翕成.不同的公理不同的幾何［J］.中學數學，2011，5

20110721)