剖析命題 修正結論 完善簡解

226100 江蘇省海門中學 孫 蕓

剖析命題 修正結論 完善簡解

226100 江蘇省海門中學 孫 蕓

并利用該命題簡解了一類高考壓軸題:“對?x≥0，f(x)≥g(x)或f(x)≤g(x)恒成立，其中f(x)或g(x)含參數a，試確定參數a的取值范圍．”簡解的思路是:對?x≥0，只要對f(x)≥g(x)或f(x)≤g(x)兩邊取導數，再從f'(x)≥g'(x)或f'(x)≤g'(x)中分離出參數a，轉化為最值問題．

筆者研究后發現上述命題和簡解都是錯誤的，本文先作一剖析，再將錯誤命題修正，并給出簡解的完善，不當之處，懇請大家指正．

1 命題的剖析

原命題假逆命題真，說明在給定的已知條件下，“f'(x)≥g'(x)恒成立”是“f(x)≥g(x)恒成立”的充分不必要條件，文［1］依據命題得到的簡解實際上利用已知條件的充分不必要條件解題，所以是錯誤的，雖結果正確但純屬巧合而已.

2 結論的修正

經過探究，文［1］命題可作如下修正:

定理1 如果函數f(x)，g(x)在x≥m時均可導，f(m)=g(m)，且當 x≥m 時，f(x)≥g(x)恒成立，那么?δ＞0，使得當 x∈［m，m+δ)時，f'(x)≥g'(x)恒成立．

若令h(x)=f(x)-g(x)，則定理1等價敘述為:

定理2 如果函數h(x)在x≥m時可導，h(m)=0，且當x≥m 時，h(x)≥0恒成立，那么?δ＞0，使得當x∈［m，m+δ)時，h'(x)≥0恒成立．

定理2的實質是:當可導函數在零點處及其右側函數值大于等于0時，該函數在零點右側必先單調遞增(非嚴格遞增)．這是顯然成立的，否則若h(x)在零點右側先單調遞減(嚴格遞減)，則?x0＞0，使 h(x0)＜h(0)=0，這與h(x)≥0恒成立矛盾．

同樣有:

定理3 如果函數h(x)在x≥m時可導，h(m)=0，且當x≥m 時，h(x)≤0恒成立，那么?δ＞0，使得當x∈［m，m+δ)時，h'(x)≤0恒成立．

3 簡解的完善

由以上4例可以看出，運用本文定理解答“已知對?x≥m，f(x)≥g(x)恒成立，且滿足 f(m)=g(m)，其中f(x)或g(x)含參數a，試確定參數a的取值范圍.”這一類問題的基本步驟是:

第1步(求出必要性):運用定理1得出?δ＞0，使得當 x∈［m，m+δ)時，f'(x)≥g'(x)恒成立，從而有f'(m)≥g'(m)，由此解出參數a的范圍A;

第2步(驗證充分性):檢驗當a∈A時滿足題意;

第3步(下結論):綜合1、2兩步，得a的取值范圍是A．

值得注意的是，在第1步中，如果出現 f'(m)=g'(m)，則需要再次運用定理1，比如例3和例4．

作為本文結束，留幾道題供讀者練習:

1.(2006全國卷Ⅱ第20題)設函數f(x)=(x+1)ln(x+1)，若對所有x≥0，都有 f(x)≥ax成立，求實數a的取值范圍．

2.(2007年全國卷Ⅰ第20題(2))設函數f(x)=exe-x，若對所有x≥0，都有f(x)≥ax成立，求實數a的取值范圍．

1 張潤平．高等數學背景下一類壓軸題的簡解［J］．中學數學(高中版)，2011，2

20110712)