小棋盤大乾坤

221700 江蘇省豐縣王溝中學(xué) 蔡際紅 劉廣平

小棋盤大乾坤

221700 江蘇省豐縣王溝中學(xué) 蔡際紅 劉廣平

1 問(wèn)題情境

圍棋起源于公元前2000年的古代中國(guó)．從古代“井田制”到現(xiàn)代各種管、線、路的立體網(wǎng)絡(luò)，再到虛擬如互聯(lián)網(wǎng)絡(luò)無(wú)不與棋盤世界相關(guān)．棋盤上最短走法問(wèn)題是趣味數(shù)學(xué)問(wèn)題常見(jiàn)問(wèn)題，具有很好的教育功能．也是教材和教學(xué)實(shí)際的重要題材．要解決棋盤網(wǎng)絡(luò)問(wèn)題還得從數(shù)學(xué)入手．

2 原題呈現(xiàn)

在蘇教版數(shù)學(xué)教材2－3計(jì)數(shù)原理導(dǎo)言部分設(shè)置了如下問(wèn)題情境.

題1 如圖1是某城市的街道．西北角是某同學(xué)的家，東南角是學(xué)校．問(wèn):從家經(jīng)東西4條街、南北5條街(最短距離)，有幾種不同的走法?

習(xí)題也多次出現(xiàn)由淺入深不同層次的練習(xí)題:

題2 (習(xí)題1．1T 9)如圖2，從A處沿街道走到 B處，使路程最短的不同走法有多少種?

圖1

圖2 圖3

題3 (習(xí)題1．1T10)如圖3，從A處沿街道走到 B處，使路程最短的不同走法有多少種?

題 4 (習(xí)題 1．4T10)如圖4，某地有南北街5道，東西街6道，一郵遞員從該地西南角的郵局A出發(fā)，送信到東北角的B地，且途經(jīng)C地，要求所走路程最短，共有多少種不同的走法?

圖4

3 推廣探究

3．1 問(wèn)題綜述

如圖5，由m+1條等距a的水平直線和n+1條等距b的豎直直線組成的圖形，稱為(m+1)×(n +1)棋盤，也稱為 m×n格棋盤．從左下角 A0，0到右上角 Am+1，n+1的最短路程為ma+nb．求走最短路線的方法有多少種．

圖5

問(wèn)題可以推廣為從任意點(diǎn)到任意點(diǎn)的走法，及經(jīng)過(guò)某點(diǎn)的走法．

格點(diǎn)記法:記A點(diǎn)為A0，0，第i行第j列的格點(diǎn)記為Ai，j．從 A0，0點(diǎn)到 Ai，j的最短走法數(shù)記為 ai，j．

3．2 解法探求

愛(ài)因斯坦說(shuō)過(guò)“有待探索的自然界是有規(guī)律的，相信基本規(guī)律是簡(jiǎn)明單純的”，此問(wèn)題亦不例外．

3．2．1 歸納猜想法

3．2．2 遞推公式法

③式我們稱為遞推公式，從①，②出發(fā)，運(yùn)用③遞推，即可求出任何 ai，j對(duì)應(yīng) .

3．2．3 楊輝三角形

觀察圖6中數(shù)字特點(diǎn)，如圖7:

圖6 圖7

4 結(jié)論推廣

圖9

5 結(jié)論應(yīng)用

5．2 應(yīng)用舉例

例1 (2010蘇北四市第三次調(diào)研考試第23題)如圖10，在某城市中，兩地之間有整齊的方格形道路網(wǎng)，其中A1，A2，A3，A4是道路網(wǎng)中位于

一條對(duì)角線上的4個(gè)交匯處．今在道路網(wǎng)M，N處的甲、乙兩人分別要到N，M處，他們分別隨機(jī)地選擇一條沿街的最短路徑，以相同的速度同時(shí)出發(fā)，直到到達(dá)N，M為止．

(1)求甲經(jīng)過(guò)A2到達(dá)N的方法有多少種;

(2)求甲、乙兩人在A2處相遇的概率;

(3)求甲、乙兩人相遇的概率．

解 (1)甲經(jīng)過(guò)A2，可分為兩步:

第一步，甲從M經(jīng)過(guò)A2的方法數(shù)為C13種;

圖10

例2 (1)一只螞蟻沿著正方體ABCD—A1B1C1D1的棱布設(shè)管道，由A點(diǎn)出發(fā)沿棱到C1，路程最短的走法有多少種?

(2)若沿二階魔方(8個(gè)小正方體)的棱呢?

(3)若沿三階魔方(27個(gè)小正方體)的棱由A點(diǎn)出發(fā)沿棱到C1，求螞蟻由A點(diǎn)出發(fā)途經(jīng)B點(diǎn)到C1的概率是多少?

圖11

6 延伸思考

課本是最重要的教學(xué)資源，我們應(yīng)充分挖掘課本習(xí)題的豐富內(nèi)涵，通過(guò)拓展、延伸、類比、聯(lián)想發(fā)現(xiàn)并證明新結(jié)論，形成數(shù)學(xué)模型，并利用它解決新問(wèn)題，實(shí)現(xiàn)課本資源利用的最大化．我們要揭開(kāi)表象把握實(shí)質(zhì)，積極應(yīng)用數(shù)學(xué)模型優(yōu)化解決．同時(shí)對(duì)激發(fā)學(xué)生興趣、培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新能力和理性精神均有裨益．正可謂:

棋盤雖小，

內(nèi)藏乾坤;

課本樸素，

內(nèi)涵精深;

聯(lián)想思考，

探求規(guī)律;

得“意”忘“形”，求其精神．

1 裘宗滬．趣味數(shù)學(xué)三百題．北京:中國(guó)少年兒童出版社，1984

20110504)