“三招齊下”破解含參數函數的導數應用的題

315731 浙江省象山縣第二中學 呂增鋒

“三招齊下”破解含參數函數的導數應用的題

315731 浙江省象山縣第二中學 呂增鋒

導數在高中數學中可以說是“叱咤風云”，具有深刻的內涵與豐富的外延，在應用中顯示出獨特的魅力和勢不可擋的滲透力．導數是解決函數、方程、不等式、數列和曲線等問題的利器，是溝通初等數學與高等數學的橋梁．以函數為載體，以導數為工具，考查函數性質及導數應用為目標，是最近幾年函數與導數交匯試題的顯著特點和命題趨向．對導數應用的考查的廣度和深度也在不斷拓寬、加深．尤其是運用導數確定含參數函數的參數取值范圍的問題，這類問題不僅綜合性強、難度高，而且解題思路妙、方法巧，學生不容易掌握．

例1 (2010年全國Ⅱ理科)設函數f(x)=1-e-x

1 連續求導破解極值存在性問題

本題的基本思想方法是通過等價變形，把不等式問題轉化為求函數h(x)=axf(x)+f(x)-x的最值問題．這就需要對h(x)求導，得到h'(x)=a(1-e-x)+axe-x+e-x-1．然后解方程 h'(x)=0，求出極值點．由于方程a(1-e-x)+axe-x+e-x-1=0的解不容易求，所以標準答案選擇了放縮法進行求解．事實上對于這樣的方程，我們可以利用代入特殊值，如0，1，-1等方式把它的解“湊”出來．通過嘗試我們發現x=0恰好是h'(x)的一個解．找到一個解后，問題并沒有解決，因為除了x=0外我們還要考慮有沒有其它解．這又歸為求函數h'(x)=a(1-e-x)+axe-x+e-x-1的值域問題，又要用到導數．我們令m(x)=a(1-e-x)+axe-x+e-x-1(x≥0)，然后再求 m'(x)．

上述解法顯然比標準答案中的解法更自然，更大眾化，更容易讓學生接受．如果要談解題技巧話，無非是對函數h(x)求了兩次導數，即用到了h(x)的二階導數h″(x)．對于連續求導的思想學生應該能夠理解并掌握，因為我們知道求導的重要作用就是通過求極值點確定函數的單調區間，最終求出函數的最值(值域)．只要明白這一點，那不管求導多少次都是同樣的道理．

2 分離參數破解分類討論問題

上述解法相對于標準答案來說確實更加自然了，但這兩種解法都用到了分類討論的思想．我們知道分類討論向來是學生的“軟肋”，對于參數的討論更是“軟肋”中的“軟肋”．為了擺脫分類討論所帶來的麻煩，可以嘗試一下分離參數法．也就是利用題設條件建立變量的關系式，將所求變量和另一已知變量分離，得到函數關系，從而使這種具有函數背景的范圍問題迎刃而解，再由已知變量的范圍求出函數的值域，即為所求變量的范圍．

上述解法比較繁瑣、冗長，但思路單一，方法簡單，容易想到．

3 羅必塔法則破解未定式極限問題

在利用分離參數法構造新的函數時，很可能會發生新構造的函數的結構比原來的函數還要復雜，這無形中會增加計算的負擔，使學生望而生畏，但我們要堅定信念——外表看似復雜的函數的實際上都非常簡單或者非常特殊的，只要我們靈活利用這“三招”，“三招”齊下，多數問題都可以迎刃而解．

20110802)