中職立體幾何相關概念教學探新

習明（桐廬電大進修學校 浙江 杭州 311500）

中職立體幾何相關概念教學探新

習明
（桐廬電大進修學校 浙江 杭州 311500）

在立體幾何概念教學中，教師要引導中職生正確認識概念之間的邏輯聯系，使知識系統化、條理化，可通過剖析知識結構、完善空間概念，類比轉化、縱橫開拓，由問題鏈生產新的認知結構等方式來實現。

中職；立體幾何；概念；知識結構

所謂系統,就是處于相互作用中并與環境處于相互聯系中的元素的復合體。數學是一門系統性很強的科學。美國教育心理學家布魯納指出：“學生學過的知識，如果沒有圓滿的結構把它聯系在一起，那是一種多半會被遺忘的知識。一連串不連貫的論據在記憶中僅有短促的可憐的壽命。”

從概念的發展來看，概念建構活動就是一個學習者不斷修正原有的概念系統的過程。概念發展的建構活動包括對概念的不斷深化理解和對錯誤觀念的糾正活動。

在立體幾何概念教學中，教師要引導中職生正確認識有關概念之間的邏輯聯系，認識它們的外延之間的關系，通過比較加深對概念的理解，使知識系統化、條理化。

剖析知識結構，完善空間概念

很多中職生對概念記憶不清，或是不能完整地敘述有關概念，總感到“似曾相識”，在教師的提示下才能回憶起來。這說明很大一部分中職生還沒有形成自己的認知結構。怎樣讓學過的知識能清晰、迅速地反映在自己的腦海中，為己所用呢？這就是建立知識結構的問題。

立體幾何研究的對象是空間圖形。組成空間圖形的基本元素是直線和平面。立體幾何部分的知識結構是以直線、平面的位置關系和度量關系為主線。由直線、平面相互的位置關系可以引出三組關系：直線與直線的位置關系、直線與平面的位置關系、平面與平面的位置關系，其中直線與直線的位置關系是本章的出發點和歸宿點。每組關系可從定性與定量兩方面進行研究。

直線與平面的三種位置關系：直線在平面內，直線與平面相交、直線與平面平行。從定性上研究，直線在平面內，直線在平面外；有無數個公共點、有1個公共點或沒有公共點；每一種關系只列出一對具有代表性的判定定理、性質定理（直線在平面內是作為公理1出現的）。定量的研究是指如何在數量上描述各種不同的位置關系：對平行關系用距離來描述它，對相交關系用交角的大小來描述它。直線與直線的位置關系、平面與平面的位置關系的定性和定量的研究同理。

如果讓中職生自己歸納知識結構，用圖形或樹形網絡建立平行系統、垂直系統、平面公理系統、射影系統等，盡管歸納有些缺陷，但是與沒有建立知識結構的學生相比，對這些知識的掌握就牢固得多，用得也更輕松。實踐證明，用概念收縮和擴大的動態觀點啟發中職生建立概念的結構系統，告訴他們復習時多思考腦子里的知識結構，可以保持學生對已學知識認知上的熟練感，從而熟能生巧、巧能生輝。

類比轉化，縱橫開拓

思想是數學思維的“軟件”，方法是數學思維的“硬件”。在解決立體幾何的問題中，用到的主要數學思想方法就是類比和轉化。

所謂類比，就是由兩個對象的某些相同或相似的性質，推斷它們在其他性質上也有可能相同或相似的一種推理形式。所謂知識的遷移，是指已經掌握了的知識對學習新的知識發生的影響和作用。如果原有知識對于新知識的影響是積極的，則稱為正遷移，反之是負遷移。

建構主義認為，數學學習活動是一個以學生已有的知識和經驗為基礎的主動建構過程，學習者能否主動建構并形成良好的認知結構，取決于原有的認知結構是否具有清晰（可辨別的）、可同化新的知識的觀念（固定點、生長點）以及這些觀念的穩定情況。所以，教師在鉆研教材、設計教法時不僅要從整體上把握教材知識結構，而且要從縱向考慮新舊知識是如何連接延伸的，從橫向考慮新舊知識是如何溝通聯系的，從而找準新舊知識的連接點、不同點和新知識的生長點。

抓住聯系，促進正遷移 從平面問題到空間問題的發展，是立體幾何知識發展的一條主脈絡，抓住這種聯系進行學習省時省力。例如在概念方面，平面的概念與直線的概念；二面角的概念與平面內角的概念；線面、面面平行的概念與兩直線平行的概念；點面、線面、面面及兩異面直線距離的概念與平面幾何中點線、線線距離的概念等。

通過對比，排除負遷移 建構主義認為，要促進學生的主動建構，就要抓住新舊知識的不同點，引發認知沖突，為學習新知識創設情境，激發學生的學習興趣，引發和保持學生的學習動機；幫助學生建構當前所學知識的意義；通過及時反饋，糾正錯誤的或模糊的認識，既能增強原有知識的清晰性，又能強化知識的固定點。由于平面幾何中的基本概念在立體幾何中未必正確，加上平面上的形象能用平面圖形真實地反映，但空間上的形象則未必能。因此，在學習立體幾何的概念時，中職生所受到的負遷移的影響比較大，而且時間較長，在教學中教師要加強對比教學，努力提高新的內容與原有平面幾何概念系統的可辨別程度。圖形對比：在平面內，AB∥CD則有∠1=∠2（內錯角），但在空間中，∠1=∠2但AB不平行于CD（∠1、∠2分別是AB、CD與第三條直線MN所成的角）。性質對比：可將二面角與角的性質從引入、定義、構成、表示法等方面進行對比，異同點一目了然。

善于轉化，融于一體 轉化思想是理解與解決立體幾何問題的最重要的數學思想方法，轉化可將平面幾何知識與立體幾何知識融于一體。如教師在講異面直線概念時，可引導中職生實驗、思考，把平面內的兩條相交（或平行）直線中的一條，平移離開平面一段距離（或旋轉一定角度，不使它們相交），則這兩條直線的位置關系如何呢？這種位置關系如何用圖形語言表達出來呢？從運動變化的觀念來闡述立體幾何中的有關概念，中職生容易理解。對于立體幾何問題，如果教師引導中職生作截面、作側面展開圖、平移、投影等，問題往往迎刃而解。立體幾何概念的轉化，也通常是“降維”處理。如“面面平行”轉化為“線面平行”再轉化為“線線平行”，“面面角”轉化為“線面角”再轉化為“線線角”等等。當然也可建立不同層次的（平行）垂直關系的轉化圖等。許多立體幾何圖形都是由平面幾何圖形平移、旋轉、翻折得到的。平面圖形與空間圖形互相轉化時，線線、線面、面面關系可能變化，也可能不變。教師要引導中職生對轉化前后的情況作出比較，深刻理解二者的聯系與區別。比如將矩形的紙片ABCD沿對角線對折成空間四邊形ABCD。中職生根據自己折的紙片發現折疊形成的空間四邊形ABCD中，原來的AB⊥BC，AD⊥CD的性質保持不變，但平行線AB、CD變成異面直線，AB與AD也不垂直了。

為進一步培養中職生的空間想象能力，可讓中職生直接想象轉化前后那些變了，那些沒變，不過這對于他們有些困難，然后啟發引導他們通過折紙來觀察，使平面定勢順利過渡到空間。

由問題鏈生成新的認知結構

建構主義認為，為充分發揮學生學習的自主性，教師應盡量引導學生主動發現問題，主動搜集、分析有關信息和資料；教師應對協作學習過程進行引導，如提出適當的問題引導學生思考和討論；讓學生自己去糾正錯誤或片面的認識。

美國著名數學家哈爾莫斯指出：“我堅信問題是數學的心臟。我希望作為教師，無論在講臺上，在討論班里，還是在我們寫的書或文章里，要反復強調這一點，要訓練學生成為比我們更強的問題提出者和問題解決者。”

幾何概念的學習過程，實質上是數學認知結構的發展變化過程，那么正確認識概念、掌握概念并應用它解決數學問題，使原有的認知結構同化或順應新知識，形成新的認知結構，就成為立體幾何教學的一個重要組成部分。如何才能讓中職生駕馭這些概念呢？為了處理好接受學習與發現學習的關系，教師應在教學中創設一系列具有內在聯系的問題，形成一個螺旋上升的數學知識結構——問題鏈，通過逐層解決，最終達到解決問題的目的。

例如，在復習立體幾何的概念時，可采用以下是非判斷題，讓中職生在較短的時間內通過類比、分析、歸納來正確回答，使他們對所學的概念系統化和整體化。

問題1：平面內，平行（或垂直）于同一直線的兩直線平行？

變式1：空間中，平行（或垂直）于同一直線（同一平面）的兩直線（兩平面）平行（垂直）？

變式2：空間中，平行（或垂直）于同一直線（同一平面）的直線和平面平行？

問題2：平面內，一條直線垂直于兩平行線中的一方，必垂直于另一方？

變式1：空間中，一條直線（一平面）垂直于兩平行線 （兩平行平面）中的一方，必垂直于另一方？

變式2：空間中，一直線（一平面）垂直于相互平行的直線和平面中的一方，必垂直于另一方？

問題3：平面內，若一個角的兩邊分別平行（或垂直）于另一個角的兩邊，則這兩角相等或互補？

變式1：空間中，若一個角的兩邊分別平行（或垂直）于另一個角的兩邊，則這兩角相等或互補？

變式2：空間中，若一個二面角的兩個面分別平行（或垂直）于另一個二面角的兩個面，則這兩個二面角相等或互補？

變式3：空間中，若一個角的兩邊分別平行（或垂直）于另一個二面角的兩個面，則這個角和這個二面角相等或互補？

上述問題鏈鎖住整個立體幾何的主要位置關系，問題與問題之間及每一問題的子問題之間緊緊聯系在一起，抓住這種聯系不僅有助于認知結構的建構，而且對于中職生立體幾何概念學習能力的提高大有益處。例如，在“直線與平面的位置關系”一課中，引導學生提出問題：（1）直線與平面可能有幾種位置關系？你能根據公共點的情況進行分類嗎？（2）如何判定直線與平面平行？即由什么條件可以得出線面平行的結論？（3）如果直線與平面平行，那么這條直線是否與這個平面內的任意直線都平行？即這條直線與平面內的哪些直線平行？能否在平面內找出與這條直線平行的直線？

在教學中，教師要引導中職生獨立面對問題，主動參與問題的提出和解決；當進行課堂教學的內容小結時，教師可回到教學過程中提到的如上幾個主體問題。這樣，留在中職生記憶中的還是問題，但這時的問題是帶有問題解決的方法與過程的，當中職生遇到類似問題（結構）的時候，會還原記憶中的思想方法，而這正是數學教學的根本目標所在。

[1]付夕連，譚成波，梁家君.數學概念的系統分析[J].洛陽大學學報，2004，（4）：15.

[2]丁茂海.點擊立體幾何的教學[J].上海中學數學，2007，（11）：3.

[3]馬麗梅.初中幾何教學研究[D].呼和浩特：內蒙古師范大學，2004.

（本文責任編輯：張維佳）

G712

A

1672-5727（2011）08-0115-03

習明（1976—），女，湖北隨州人，教育碩士，桐廬電大進修學校講師，研究方向為中職數學。